抽象函数定义域的解题策略

【摘要】抽象函数是指没有明确给出具体解析式的一类函数，由于其抽象性，对定义域的求解让多数学生难以理解并且无从下手，基于此，本文总结出两句话作为解题策略，根据策略分析了抽象函数定义域问题的四种题型及相应解题方法。

【关键词】抽象函数 定义域 解题策略

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。在函数的三要素――定义域、值域和对应法则中，定义域和对应法则是函数的核心，而定义域又是研究函数的先决条件，对函数的学习和研究必须建立在定义域的基础上，因此，求解函数的定义域是研究函数问题中一项重要内容[1]。

但在求函数定义域的问题中，抽象函数的定义域求解成为多数学生难以理解并且无从下手的一类题目。抽象函数是指没有明确给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的一类函数，正是由于其抽象性常常让学生感到迷惑。

对于求解抽象函数的定义域，只需要理解下面两句话，所有问题都可以迎刃而解。

（1）函数定义域是指自变量的取值范围。

（2）函数三要素中，相同对应法则的作用范围相同。

第一句话意味着无论是函数，，，给出函数的定义域，即是给出的取值范围。第二句话意味着对于两个函数和，在同一个对应法则的作用下，的取值范围与的取值范围是相同的，两者等价，也就是说，两个函数的值域相同（并不表示定义域相同）。

根据该解题策略，下面结合具体实例分析抽象函数定义域问题的四种题型及解题方法。

1 已知的定义域，求的定义域

解题方法：根据第二句话，相同对应法则作用范围相同，意味着的取值范围与的取值范围相同，两者等价。再根据第一句话，求的定义域，就是求的取值范围，则问题化为，根据的取值范围求的取值范围，即为的定义域。

例如，若的定义域为，即，则等价于中，从中解得，即的定义域为。

例1：已知函数的定义域为[1，4]，求函数的定义域。

解：已知的定义域为[1，4]，即中，

，解得，

函数的定义域为[-1，0]。

2 已知的定义域，求的定义域

解题方法：根据相同对应法则作用范围相同，意味着的取值范围与的取值范围相同，两者等价。再根据第一句话，已知的定义域，就是已知的取值范围，则问题化为，根据的取值范围求的取值范围，即为的定义域。

例如，若的定义域为，即，可确定的取值范围，则等价于中，即的定义域为。

例2：已知函数的定义域为[-l，2），求函数的定义域。

解：已知的定义域为[-l，2），即，

，即等价于中，

函数的定义域为[3，9）。

3 已知的定义域，求的定义域

题型3本质上为题型1和题型2的综合。

解题方法：根据第一句话，已知的定义域，就是已知的取值范围，根据的取值范围可确定的取值范围。再根据第二句话相同对应法则作用范围相同，意味着的取值范围与的取值范围相同，两者等价，则问题化为，根据的取值范围求的取值范围，即为的定义域。

例如，若的定义域为，即，可确定的取值范围，则等价于中，再根据的取值范围求得，即的定义域为。

例3：已知函数的定义域为[-1，1]，求函数的定义域。

解：已知的定义域为[-l，1]，即

，即等价于，

解得中，函数的定义域为。

4 已知的定义域，求运算型抽象函数的定义域

运算型的抽象函数是指由有限个抽象函数经四则运算得到的函数，如，等。

解题方法：先根据题型1求出各个函数，的定义域，然后再求其交集。

例如，若的定义域为，即，则等价于中和中，分别解得的取值范围，其交集即为所求定义域。

例4：若的定义域为[-5，3]，求函数和的定义域。

解：由的定义域为[-5，3]，即中，

则中有，解得，

取交集得，函数的定义域为。

同理，的定义域也为。

总之，抽象函数定义域的求解问题一定要从本质上弄明白，理解函数的定义域和对应法则，清楚解题策略，进而根据对应法则下的等价转化，利用不等式知识解决问题。

【参考文献】

[1]崔琼珍.抽象型函数定义域求解研究[J].中国科教创新导刊，2010，（10）：82-83.