由一类抽象函数定义域的求解问题反思函数概念的教学

摘 要： 本文从研究一类抽象函数定义域的求解问题出发，反思在函数概念教学过程中学生对函数概念的理解和掌握程度，思考函数概念的教学方法，在教学中应当设计有实际意义的图形或问题帮助学生理解抽象函数.

关键词： 抽象函数 定义域 函数概念

函数概念是中学数学知识体系中的核心概念，它贯穿整个中学数学教学过程，高中的函数定义又是基于集合论知识的，由于其定义文字叙述方式的强逻辑性、概念的抽象性和形式化的符号表示，一直以来是数学教学的一个难点.

1.问题的产生

在一次练习中，学生碰到了如下问题：

已知函数f（x）的定义域为（-1，0），则函数f（2x-1）的定义域为？摇？摇 ？摇？摇.

这是一道典型的复合函数定义域的求解问题，也是学生最头疼，理解上最易混淆的题型.常见的错误解法为：

f（x）的定义域为（-1，0），所以x∈（-1，0），于是2x-1∈（-3，-1），即f（2x-1）的定义域为（-3，-1）.

经过老师的耐心讲解，学生认识到，函数f（2x-1）的定义域应该是求x的取值范围，而2x-1应该满足f（x）的定义域为（-1，0）.所以正确的解法是2x-1∈（-1，0），解出x∈（0，■），即f（2x-1）的定义域为（0，■）.

尽管学生听懂了老师的解法，但是似乎理解上依然存在困惑.随后，为了了解学生是否真正掌握了该类问题，笔者又给出了该题的变形：

已知函数f（2x-1）的定义域为（-1，0），则函数f（x）的定义域为？摇 ？摇？摇？摇.

两道类型相似的题放在一起，学生的思维一下子就混乱了，实在搞不清哪种解法对应哪种题.经过反复练习后，还是有很多学生会出错，停留在似懂非懂的阶段，而即便能给出正确解答的同学，也说不个所以然来，只是机械地记忆解题套路罢了.

通过对学生的调研，了解学生对该问题的思考发现，学生在以下方面不理解：

1.f（x）的定义域指的是的取值范围，f（2x-1）的定义域也是指x的取值范围，那这两个函数的定义域到底哪个是x的取值范围？

2.一会儿是x∈（-1，0），一会儿又是2x-1∈（-1，0），变形题中只是将f（x）换成了f（2x-1），条件的数值都没有变，怎么整个解答过程就不一样了？

3.在这类题中，函数没有具体的表达式，只是抽象的表示，这些抽象函数的实际意义到底是什么？

2.对问题的研究

学生的这些困惑中，我们不难发现一些问题，一是不少学生解题都是靠记忆解题方法而不是理解其实质，解题时重形式而忽略理解.二是不少学生不理解函数的定义域是什么，函数的定义域就是求x的取值范围这种观念根深蒂固.

因此，造成学生困惑的根本原因就是对函数概念本身的理解不到位，对函数片面不深入的理解导致了学生认识上的偏差，在解题时就只能凭借形式化的解题过程，对于其中出现的各种变量不能理解其意义.

学生在初中所学习的函数定义为：设在某变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么，y叫x的函数，x叫自变量.

这一定义很直观，学生容易理解，因为它适合初中生的生理和心理特点，但是它对函数的本质――对应关系缺乏充分刻画，未能强调函数是x，y双方变化的总体，而把变量y定义为x的函数，以至形成一个学生中具有普遍性的错误，认为y就是函数.

高中函数定义是在集合概念基础上给出的，即当A、B为非空数集时，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数.记作f：AB，或y=f（x），x∈A.在学习了映射后，函数概念可以叙述为：设A、B为非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：AB叫做A到B的函数.这种定义强调了函数是A、B、f三者的整体，是一类特殊的映射.显然此定义接近以集合论为基础的现代函数定义.此定义与初中定义相比，舍去了“变化”这一非本质的特征，突出了“对应”的思想，这有助于学生对函数本质的理解，促使学生的思维方式由直观向抽象转变，对学生的思维提出了更高的要求.

这种定义方式采取由传统定义逐步过渡到现代定义的编排方式，符合人类认识由低级到高级的规律.然而学生并不能够很好地适应这样的定义方式，在理解上常常是片面的.比如，学生对函数的认识往往固化为f（x），先入为主地认为函数就应该是一个表达式，x代表定义域，f（x）代表值域.

因此我们不得不反思：学生在初中所学习的是片面的不完整的定义，在教学时教师应当如何设计教学才能让学生转变以往根深蒂固的对函数概念的认识，更接近其本质？

3.函数概念教学的反思

在数学历史上，函数概念的定义也是不断发展的，函数概念来源于实际，应用于实际，并在应用中不断发现自身的缺陷，使其进一步完善，从而促进了数学的发展，同时，数学的发展又为函数概念的形式化与严密化提供了良好的条件.将函数看成是一类映射，更接近函数的本质.

在函数的概念教学过程中，我们应当加强“映射”这一概念，让学生认识到函数不是一个或几个表达式，而是一种“映射”，是从一个数集到另一个数集的对应关系.在训练学生对函数的理解上时，不应该只有表达式，而是要强化学生对符号、图形的解读能力.

在函数的概念教学中，我们经常会借助下面的图形帮助学生理解函数概念：

这张图非常直观地表现了函数的形成过程，各个符号的意义：f是建立在两个集合之间的函数，集合A中的每个元素都在函数f（x）的定义域中.而对于f（x）这个函数符号，我们更应该把它理解为函数f作用在元素上x.在真正理解了这张图的基础上，我们可以进一步加深函数的概念：

对于这张图的解读，将检验学生对函数概念真正的理解程度，我们可以设置以下几个问题：

1.这里一共有几个函数？

2.每个函数所对应的定义域是哪个集合？

3.这几个集合中的元素是怎样形成的？

在这张图中，一共建立了从f：AB，g：BC，以及g。f：AC三个映射，所以一共可以看成有三个函数，而AC这个映射由两个映射f和g共同组成，这就是复合函数g[f（x）].而对于这三个映射，箭头“起始”集合便是所代表函数的定义域.

如果我们从映射的角度理解文章开头时提出的问题，或许更易于理解：

函数f（2x-1）应该看成两个函数的复合：g（x）=2x-1与f（x），在这里g（x）与f（x）仅仅是代表两个函数的符号，我们不能认为写成f（x）就意味着映射f是作用在x上的.在这整个的变化中，x先由映射g作用变成2x-1，然后2x-1再由f作用变成f（2x-1），函数f（2x-1）的定义域对应着集合A，而函数f（x）的定义域则对应着集合B，而集合B中的元素是集合A中的元素x先由映射g作用变成了2x-1.

通过这张图表，我们就可以理顺各个概念间的关系，在实际解题中可以帮助学生快速找到解决问题的方向.以文章开头的两道问题为例：

先画出整个问题中出现的对应关系图：

1.若已知条件是f（x）的定义域为（-1，0），则映射f的起始集合B为其定义域，所以B中的元素2x-1∈（-1，0），此时可以反解出集合A中的元素x的范围是（0，■），即为函数f（2x-1）的定义域.

2.若f（2x-1）的定义域为（-1，0），函数f（2x-1）的起始集合为A，所以A中的元素x∈（-1，0），此时可以解出集合B中的元素2x-1的范围是（-3，-1），即为函数f（x）的定义域.

4.对教学的启示

笔者采用改进后的讲解方法对该类问题向学生进行了解释，学生在函数概念的理解上有了明显的改进，对于该类抽象函数定义域的求解问题基本上能够从容应对了，该问题似乎暂告一段落，但是通过对这类问题的研究，对于教师教学应当有更多的启示：学生在接受新知识时，都要经历一个从陌生到熟悉的过程，由于接触时间的不足，并不能像老师那样做到融会贯通，理解一个新知识是需要花时间的，教师应当从学生思维的疑惑点出发，分析学生在理解上出现的障碍，有针对性地设计教学方法.学生在解题时，往往采用形式化的记忆，即只是单纯地记忆解题步骤，而对于其来龙去脉缺少理解，当题型出现变化时，解题就会出现混淆，对于抽象程度较高的知识点，教师可以设计一些有实际意义的图像帮助学生理解问题的本质.

参考文献：

[1]蒋美丽.初高中函数概念教学衔接浅谈[J].华夏教师，2010（03）.

[2]张先叶.高中函数概念教学的困难成因现状分析[J].科技信息，2011（13）.

[3]王君月.关于“抽象函数定义域”的讨论[J].数学学习与研究，2012（01）.

[4]马芹.函数的概念教学实录与反思[J].上海中学数学，2011（12）.