精心把握习题教学?培养思维创新素质

教育转轨以来，注重思维创新意识的激发，思维创新能力的发展和提高，就成了数学教学的首要任务。在数学教学中，思维创新能力的培养有赖于对数学问题的解决，而初中阶段的数学问题一般表现为习题的形式。所以，习题教学不仅是帮助学生理解、掌握和巩固所学知识的手段，而且是培养、发展和提高学生思维创新能力的重要途径。

为了使习题能更好地为教学服务，习题教学应注重培养学生思维创新能力，不仅要启发学生多角度思考，教给多种解题方法和技巧，还要以习题为出发点，要求学生对同类问题举一反三，触类旁通，并在此基础上进行抽象概括、分析综合、求异创新，从而达到提高学生思维能力的目的。

一、由典型到一般

一个典型习题，能反映同类问题的思维方法和解题技巧，以此拓展开去，发挥其举一反三、触类旁通的潜在功能，由一棵树木，而看见整片森林。

例1 已知：如图1，在ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长。

此题就是一个特例，它的结论反映出一个较为一般的规律，但教师不宜将这个规律直接告诉学生，而应让学生自己去发现，并抽象、概括出来。

分析：由题意结合图形联想到“切线长定理”，即“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”，感知这一问题可转化为方程组来解决。于是，设AF=x，BD=y，CE=z，得方程组

x+y=13 （1）

x+z=9 （2）

y+z=14 （3）

由（1）+（2）+（3）得2x+2y+2z=

36，则x+y+z=18 （4），再由（4）式分别减去（1）（2）（3）得z=5（cm），y=9（cm），x=4（cm）。至此，老师要提出以下几个问题让学生解答。

问题1：观察2x+2y+2z=36中的数据，想一想36相当于ABC的什么？（周长）

问题2：那么，18是36的多少？（1/2）意味着周长的多少？（一半）

问题3：x+y相当于哪一条边？是哪一个角的对边？z是哪一个顶点引出的切线长？z是怎样求出的？（（4）-（1），周长的一半减对边）

问题4：y和x的求出是不是也符合以上结论？是不是所有这类问题的结论都有这种规律？（指导学生把题中的数据改为BC=a，AC=b，AB=c，将问题由特殊推向一般）

学生通过对各题结论的观察、比较，不难概括出已知三角形的内切圆，求某一顶点引出的切线长问题的基本规律：某一顶点引出的切线长等于三角形周长的一半减对边。

得出以上基本规律后，再引导学生应用、推广，可让学生解答如下问题：

问题1：解方程组：

x+y=13

x+z=9

y+z=14

问题2：已知一个直角三角形的两直角边为3、4，求该直角三角形由直角顶点引出的切线长。

通过上述抽象概括、总结规律、推广应用等活动，不但可以使学生弄清以上基本规律的来龙去脉，而且能使学生的思维创新能力得到发展。

二、结合阶梯性综合习题，启发学生深化习题，培养学生的分析综合能力

一切事物和周围事物都有着有机的联系，我们要启发学生从事物的联系上去分析问题，由表及里，深层次挖掘知识点，达到使学生既掌握知识，又训练思维，并形成技能的目的。

例2已知：如图2，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，AN交CM于E，CN交BM于F，求证：①AN=BM，②CE=CF，③EF∥AB。

分析：此题可以与全等变换中的旋转模型类比，找出证明途径，即通过证ACN≌MCB，得①AN=BM；思考②时，可考虑证ACE≌MCF，因为有了AC=MC，∠ACM=∠MCN，而∠CAN=∠CMB能由①中的ACN≌MCB得出，从而可由CE=CF及∠MCN=60°得CEF为等边三角形，第③问也就迎刃而解。

再比如，例1中的学生解答之问题2：RtABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，它的内切圆O分别与AC、BC、AB切于点E、F、D，①求证：四边形ECFO为正方形，②求O的半径。（如图3）

所以，对习题作适当的引申，提出渐进式的多个问题，环环相扣，是培养学生应变能力的途径之一。

三、结合可变性发散习题，鼓励学生一题多解，培养学生的发散思维能力

数学各部分之间相互联系，相互渗透。若能充分利用一题多解开展习题教学，不但可以加强新旧知识之间的联系，巩固已学知识，而且能培养发散思维能力，擦燃思维火花，找到最佳解题技巧，收到事半功倍的效果。

例3 如图4，已知在ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，求证：AB=AC。

通过作业交流，课堂讨论等活动分析小结得出：证法一，用勾股定理的逆定理证得∠ADB=90°之后，可又用勾股定理求出AC的长度，与AB的长度相比较，得出AB=AC；证法二，用勾股定理的逆定理证明∠ADB=90°之后，又可以通过证ADB≌ADC，得出AB=AC。

一题多解存在于很多的习题解答之中，如果我们的习题教学注重教育学生破除“为解题而解题”的思想，对持有创造性解法的学生给予表扬，加以鼓励，他们就能逐步养成从多角度观察、思考问题、解决问题的习惯，从而发展立体思维和发散思维的能力。数学知识的学习，思维能力的提高，创新能力的发展，在课堂教学中大多是以习题为载体的。这就要求教师要善于引申和拓展课外习题，使学生通过独立思考，发现、提出、分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造的过程。

综上所述，习题教学的过程，应该是引导学生开展积极思维活动的过程，教师应该站在一定的高度研究习题，提出有探讨价值的问题供学生研究，引导他们开动脑筋，领会和掌握基本知识，并在此基础上力求融会贯通，灵活运用。

（作者单位：湖南省衡阳县渣江镇赤石中学）