基于体积分方程法的起伏地形三维电场正演

摘要： 利用体积分方程实现了起伏地形三维电场的正演模拟。首先推导了起伏地形条件下的积分方程，在求解电并矢格林函数积分这一关键问题时，将其分解为一次电流项、一次电荷项和二次项；随后进行了模型试算，结果表明电场在地形和地下不均匀体处均有异常出现。

Abstract: 3-D electric field forward modeling of undulating topography can be achieved by volume integral equation method. First, under the condition of undulating topography, this paper deduced integral equation, while calculating tensor Green's functions, the algorithm divided it into first current part, first charge part, and second part; by model calculation, proved that electric field appear abnormal on uneven body and undulating topography.

关键词： 体积分方程；起伏地形；电场正演；并矢格林函数积分

Key words: volume integral equation；undulating topography；electric field forward；integral of tensor Green's functions

中图分类号：P31 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）13-0003-02

0 引言

三维地质体电场的计算问题有着重要的理论价值，它是解释复杂条件下地质体的最有效方法。体积分方程计算三维地质体电场时，仅需在电阻率异常区域剖分[1，2]，因而与有限元法和有限差分法相比[3-5]，其计算量相对较小，在求解有限大小三维体时更加方便。我国山区面积约占国土的三分之二，在山区开展电磁法勘探时，复杂的地形条件是主要的干扰因素。鉴于此，利用体积分方程进行起伏地形三维电场的正演，具有理论意义和现实意义。

1 方法的基本思路

首先通过积分方程和并矢格林函数理论，得到等价于麦克斯韦方程组的三维电场积分方程，然后将地形和地下三维异常体分别剖分为M个和N个均匀小单元，再将积分方程离散化，转化为含有M+N个未知量的线性代数方程组，最后将各均匀小单元的电阻率代入线性代数方程组中，求解得到三维电磁场响应值，实现了基于电偶源的起伏地形三维电阻率电磁场正演。

2 积分方程的建立与求解

考虑如图1所示的起伏地形三维异常体剖面图。均匀大地电导率为σb，异常体电导率为σ1；空气的电导率为σa+iεω，其中ε为介电常数，ω为激发源角频率，地形的电导率为σ2。

对于此地电结构，结合相应的激发模式，取时间因子为eiωt，由麦克斯韦方程组得：-?塄×E=iωμH+Mi（1）

?塄×H=（σ+iωε）E+Ji（2）

式中，Ji和Mi分别为表示激发源项的电流和磁流密度。

根据Harrington（1968）的推导[6]，上面（2）式可写为

参考文献：

[1]Hohmann. G. W.， Three dimensional induced polarization and electromagnetic modeling[J].Geophysics 1975，40（2）：309～324.

[2]Wannamaker. P .E.，Hohmann. G.W.and SanFilipo.W.A，Electromagnetic modeling of three dimensional bodies in layered earths using integral equations[J].Geophysics 1984，49（1）：60～74.

[3]朱伯芳.有限单元法原理与应用[M].北京：水利出版社，1979.

[4]徐世浙.地球物理中的有限单元法[M].北京：科学出版社，1994.

[5]周熙襄.电法勘探数值模拟技术[M].四川：四川科学技术出版社，1986.

[6]Harrington，R.F.Field computation by moment methods：New York，MacMillan Co，1968.

[7]Tai，Chen-To.Dyadic Green’s functions in electromagnetic theory：Scranton[M].International Textbook Co，1971.

[8]李建良.计算机数值方法[M].南京：东南大学出版社，2000.

[9]米萨克N.纳比吉安著，赵经祥等译，电磁法（第一卷 理论）[M].北京：地质出版社，1992.

[10]Wait.J.R，Geo-Electromagnetism[M].New York，Academic press，INC，1982.