对概率思想的教学与教材之若干思考

增设“概率与统计”是新课程改革的重要方面,在有关概率内容的公开课中,教师有不少疑惑和争议的问题；鉴于概率课的思想性、思维性,与其它课程有显著差异.因此,笔者对当前概率课的教学与教材中的问题做了如下思考.

1 教师易疏忽“随机事件”后的教学预示和对概率实验的重视

会甄别随机事件是学生要掌握的学习目标,目标达成后,教师易忽视引导学生去思考：从不确定性到发现有规律性,再去思考与渐悟随机事件发生可能性的度量依据是什么？这一系列数学意识形成过程,教师应领会“随机事件”的教学预示：它是为概率思想延伸与发展的孕育点．

以人教版九年级上册(p.138)的袋中摸球问题为例：

教师曾否想过：①为何在此安排这一问题,教学意图是什么？②为什么要以数学活动的形式进行？③为什么要统计各色球出现的频数？④实验结果对后续教学的重要意义是？

但是,不少教师没有意识其重要性.让参与摸球学生人次太少,只获得一个各色球出现频数相对多少的定性化的结论.甚至有实验都不做,以讲代“做”.发现不确定事件有规律性是统计思想的体验,只有在统计观点与方法指导下实验的结果,学生才真切地体验频率围绕概率波动与逼近过程,这是认同与理解概率概念立“信”的基础,只有形成“基本事件”、“等可能性事件”两个重要数学意识的孕胎,才能思辨是什么决定频率趋近的概率,这是建立古典概型的思想素材储备和思维蓄势的过程.

概率实验意义：展示随机事件发生的频率趋近概率变化趋势.频率有兼容统计意义与暗射概率意义的双重性.频率是揭示存在概率现象的一个数量指标,充当概率概念的感性认识与理性思辨双重角色.严格意义上说,一切学科都依赖于实验或历史事件提供的现象作为认识的基础；对学生来说,概率课以前学到的数学知识,定义、公理、定理、性质……几乎是以确定性思维为模型展开的.因而,出现对“可能性”的度量,对学生来说是全新的思维转型与挑战,促成思维转型的兴趣与勇气就是源于对概率实验的“频率”探究过程．

2 教材提供学生有关概率概念思辨的素材不足

2.1 基本事件与等可能事件

初中已涉及简单的古典概型和几何概型,古典概型的研究对象是离散型事件,发生的事件必须是有限可列,其次发生的事件应看成是若干“等可能性基本事件”的组合,这是古典概型概率能度量化两项必要条件,也是概率度量依据.基本事件指的是不可再分的可发生事件,现实中的基本事件可以是等可能性,也可能不是.只有“等可能性基本事件”对概率度量才有意义．

由于初中学段明确要求学生应掌握简单随机事件的概率计算方法,并明白的频率为什么趋近概率波动的原因,但教材没有显化“等可能性基本事件”这个概念,而又要求学生会用树状图列举所有发生的事件,并算出其中一类事件发生的概率,缺少了这个概念,教师很难向学生说清概率计算的数学意义．

问题1 袋中装有手感一样的黄球3个、白球2个、红球1个,每次有放回地摸出一球,对下列发生事件说法正确的是()

A.摸出黄球的机会最大B.摸出黄球与摸出白球或红球的机会一样大

C.摸出某个黄球概率应大于摸出红球的概率

D.摸出红球与摸出某个白球可能性不相等

评析 考查学生会区分基本事件与某类事件的能力.选项A没有明晰与之相比较的事件,难以评判.选项B给选项A再思的启示,选项B正确．

问题2 见图1,一只甲壳虫欲爬上一棵树觅食,它在每个枝丫分叉点随机选择上爬的枝丫,已知树上只有A、B、C、D处有食物,设吃到各处食物的概率为P(A)、P(B)、P(C)、P(D).对下列说法错误的是()

A.上爬时吃不到食物概率为0.25

B.P(D)=2P(C)

C.P(C)＞P(A)D.P(B)=2P(A)

评析 本题是对考查等概率事件辨别能力.用数字表示不同位置的枝丫,虫经过各处概率：P(1)=P(2)=0.5,于是P(3)=P(4)=0.25,P(11)=P(12)=0.125.沿此思路,得P(A)=0.125,P(B)=0.25,P(C)=0.125,P(D)=0.25.应选C．

建议 教师应突出“等可能性基本事件”(数学意识)对度量随机事件概率的重要性,它是度量可能性大小的“单位”尺度,正如我们知道没有单位长是不能度量一条线段长一样；对于简单的分步完成的事件,每步都有若干种等可能选择,则等可能性基本事件总数为各步“选择”数的乘积(乘法计数原理),初中学段虽没有要求学生明确掌握,用它能快捷地计算出随机事件所包含的基本事件数.在用树状图列得所有基本事件数时,可引导学生发现与归纳出这一计数方法．

评析 考查学生平时学习体验.可以不画树状图：小马猜选老王的出生年月数的事件总数为3×2,仅猜对月份的事件数为2×1,轻易获得正确选项B．

2.2 教材缺少对古典概型和几何概型的差异性比较

学生能明白：不可能发生的事件的概率是0.但是反过来,0概率事件就是不可能发生的事件吗？一定发生的事件的概率一定为1,又问：概率为1的事件是肯定发生的事件吗？也许教师还没有意识到此类问题,学生更难分辨,这涉及到两种概型的差异．

评析 考查学生对简单的几何概型(线段型)的领悟水平.事件总体范围：以轮胎左侧靠点A移动至右侧靠点B,总体的空间长度为(AB-d).发生扎胎“放气”的轮胎活动的范围：轮胎右侧靠点C移动至左侧靠点C,随机事件空间长度为d.选项A正确.

问题5 利用计算机可设计如图3所示的实验：在一个边长为[KF(]2[KF)]的正方形内有一个内切O,在正方形内可随机产生一系列点,当点数很多时,计算机自动统计出正方形内的点数a个,其中O内的点数b个(不统计正方形边上和圆上的点),利用频率估计概率,推得下列结论正确的为()

建议 在初中学段可以考虑引入“等可能性基本事件”概念,它并非很抽象深奥,它是理解概率及其计算原理重要的思想“中介”,借此可改变目前教材欲言又止、虽“浅”尤“惑”的处境；鉴于现行的教材对两种概型的概率度量思想与方法缺乏明晰,若明若暗,还不如分开挑明,也便于同高中教材接轨．

3 教材展示概率学习意义的题材不丰满

概率思想、概率模型与现实世界关系十分密切,它有助于培养人有理性和宽容的处事态度.鉴于这部分新内容仍处在教材改革探索与实践阶段,选择与学生生活密切相关的学习题材还有待于创新、充实.比如,人教版偏重于认识游戏中的概率和探究游戏规则的公平性方面的取材,体现风险与成功的概率分析与计算的实例却很少,使得概率的学习意义与数学教育意义有所逊色．

3.1 对风险事件的概率计算

人的一生总会碰到一些有风险的事情,学会用概率来评估自己的生存环境,保持清醒的头脑,从容应对来自风险的挑战．[TP9-4.tif,BP][TS(][JZ]图4[TS)]

问题6 如图4,这是犯罪分子牢固在桥上的一种定时炸弹的引爆装置,防爆专家根据经验,通过将引爆装置A、B、C三个部位各剪断一根导线来实现排爆.若A、B、C三个部位各剪断一根导线对应的数字和为正,则控制引爆的电流没变,炸弹还是定时爆炸；若A、B、C三个部位各剪断一根导线对应的数字和为零,则控制引爆的电流中断,排爆成功；若A、B、C三个部位各剪断一根导线对应的数字和为负,则控制引爆的电流反向,炸弹立马爆炸酿成惨剧.比如剪A、B、C最上方的导线：－1＋1＋(－1)=－1．

(1)用树状图表示：从A、B、C三个部位随机各剪断一根导线后所对应的数字和的所有结果；

(2)在(1)的前提下,求概率P(排爆成功)、P(立马爆炸)、P(定时爆炸)的值.

评析 本题考查学生会利用树状图对风险事件进行概率分析与计算,体验概率的实际意义.问题(1)列出树状图如下：

用概率来研究风险事件,理性指导我们如何决策与评判自己的行为,体会概率是把握不确定事件的锐器.结合本题,教师可以引导学生进行讨论与争议：如果你是防爆专家,应怎样决策．

问题7 见图5,因晚餐时停电,在圆桌的转盘中心放一支蜡烛,周围有三只一样的菜盘,各盘底的中心离烛底均为Rcm,已知盘口的半径为rcm,盘子高忽略不计.转动转盘时,蜡烛可能绕底端任意方向倒下,在不计蜡烛粗细,试求以下问题：

(1)设蜡烛高xcm,求蜡烛任意方向倒下都不会碰到盘子x取值范围；(2)假定x≥[KF(]R2-r2[KF)],当R=2r时,求蜡烛倒下碰到盘子的概率．

评析 本题巧妙地将概率与几何知识整合,用数学的眼光看待生活中的问题.问题(1)为确定事件.当x＜R-r时,烛任意方向倒下都不会碰到盘子；问题(2)的假定条件,说明蜡烛倒下可以与盘边发生相切(如图5中的切点P).蜡烛倒下角的活动的空间长度为360°,发生“碰盘”的角的范围长度为6倍∠AOB的度数.由R=2r推得RtAOB的∠AOB=30°,得P(碰盘)=[SX(]6×30[]360[SX)]=0.5．

3.2 对希望成功的事件概率计算或体验

每个人都希望获得好的运气,但“运气”离我们有多远,这就要靠数学眼光,概率是认识“运气”有多大的数学工具,它会告诉我们：是努力坚守“运气”,还是学会主动放弃．

问题8 小英三次抽签答题,根据三次答题的总分在60分以上,才能被外资企业聘

用.第一次是在A、B、C三题随机抽到一题,每题分值都是20分.这三题中她仅C题不会做,如果被抽到,答不上来,则会倒扣20分(以－20记入总分计算)；第二次是在D、E两题随机抽到一题,D题她可得满分30分,E题只会答出部分,得10分；第三次是在F、G两题随机抽到一题,她只能分别得到40和25分(每题满分值为50分),小英被聘用概率有多大？你认为她该不该参加这次考试？

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