时间：2022-07-21 08:54:25
尺规作图是几何证明的另一种呈现方式,其根本目的是发展学生的推理能力,是对几何证明的拓展与延续.一直以来,尺规作图都是初中数学教与学的一个难点,其中作图思路的分析与形成是教学的关键.新课标在教学要求上降低了几何证明的难度,同时也降低了对尺规作图的要求,部分课标教材对这一内容的设计存在一定的缺陷,不能很好的满足学生学习的需要.现以“作一个角等于已知角”的作图思路分析为例,结合北师大版教材和浙教版教材的教材设计进行分析,阐述笔者的观点,以期达到抛砖引玉的目的.
1 教材设计及分析
1.1 北师大版教材设计及分析
1.1.1 教材设计
教材在七年级下册第二章第四节安排了“作一个角等于已知角”的尺规作图.教材在没有学习三角形全等的条件的情况下安排了这一内容,给出了规范的尺规作图的作法书写,分五步呈现,并让学生进行模仿.对这一内容的教学要求教师用书给出了如下说明：作一个角等于已知角的作图过程比较复杂,教学时,一方面应要求学生按照作图步骤亲自操作,同时对于“已知、求作和作法”的书写要求应循序渐进,此时可以只要求学生能看懂步骤,按照步骤进行正确的操作.按照步骤完成作图后,教师应鼓励学生利用测量、比较等方式验证新作的角是否等于已知角.
1.1.2 缺陷分析
(1)内容呈现顺序上的缺陷
“作一个角等于已知角”所用的原理是三角形全等的条件,教材将这一内容放置于“探索三角形全等的条件”之前,使得该尺规作图缺乏了理论支撑,只能让学生进行模仿操作.而对于所作的图形,要让学生说明其正确性,又要用到三角形全等的条件,万不得已,只好让学生进行测量、比较验证新作的角是否等于已知角.由此可见,将“作一个角等于已知角”安排在三角形全等的条件之前,对作法的分析及所作图形正确性的说明是缺乏理论依据的.
(2)尺规作图的要求与目的存在缺陷
尺规作图实际上是几何证明另一种呈现方式,其根本目的是发展学生的推理能力,是对几何证明的延续.初中的许多尺规作图是在对几何证明进行综合应用的同时发展学生的逆向思维能力.教材设计中只要求学生能看懂步骤,按照步骤进行正确的操作,对所作图形利用测量、比较等手段说明所作图形的正确性,显然失去了对推理能力的培养这一教学目标.处理几何作图时,我们不应当忘记,问题并不是要求以一定的精确度实际把图画出来,而是从理论上说明只用圆规和直尺(假设我们的这些仪器完全准确)能否找出画图的方法来；必须强调,我们的几何作图概念在某种意义下似乎是人为的.圆规和直尺肯定是作图的最简单的工具,但是在几何中从来就没有只限于用这些仪器,从实际看,任何一个尺规作图方法,其作图效果都不如用好的半圆仪等仪器那样令人满意.(摘自《什么是数学》柯郎•罗宾)如果只把尺规作图视为一种机械化操作,只要求学生会“依葫芦画瓢”,那么学生学完之后是一种“知其然而不知其所以然”的感觉,这显然与尺规作图的根本目的相违背.
1.2 浙教版教材设计及分析
1.2.1 教材设计
教材在七年级下册第一章第六节作三角形中安排了“作一个角等于已知角”这一内容,学生在学完三角形全等的条件后学习这一尺规作图,并利用这一尺规作图作三角形.教材在本节内容中第一次给出尺规作图的定义,并在其后开门见山地给出：下面介绍怎样利用直尺和圆规作一个角,使它等于已知角,随后给出了具体的作法和相应的图形.对这一作图教学参考书给出了如下说明：作一个角等于已知角,学生在七年级上册第7章已经接触过,不过当时只要求应用量角器作,而本节限定用直尺和圆规来作,在原理和方法上都有较大的区别.对作法的思路教师可作些引导,也就是构造出一对三边相等的全等三角形,使其中一个含有已知角,而另一三角形中这个角对应角就是所求的角,然后把这一思路转化成具体的作法.
1.2.2 缺陷分析
(1)教学设计缺乏探究性
教材直接介绍怎样利用直尺和圆规作一个角等于已知角,并给出了规范的作图与作法,尽管教参指出对作法的思路教师可作些引导,然而对于这个思路的形成只能停留于老师的引导和分析,学生很难想到(笔者进行了教学试验,在给出尺规作图的定义后让学生完成这一尺规作图,结果六个班的同学没有一个学生能想出作图的思路),因此,对于这样的教学设计,只能由教师一边引导一边讲解作图的原理,对学生而言缺乏探究性.这样的设计学生知道怎样作图及作图所用的原理,即达到了让学生“知其然而知其所以然”的目的,但却不清楚作图思路是如何形成的？解决这种问题的方法是怎样形成和提炼出来的？这些问题对学生而言还是一块空白,而这正是数学本质的东西,离开方法而追求知识本身,知识就失去了它应有的价值,也失去了它的灵性.
(2)教学容量偏大
教材在介绍完作一个角等于已知角这一基本作图之后,安排了利用这一基本作图作三角形(已知“角边角”和“边角边”的两种情况作三角形),而后还安排了作线段垂直平分线的基本作图(对作线段垂直平分线的尺规作图同样缺乏必要的理论支撑：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上).从内容安排和实际教学来看,本课时的教学容量过大,一课时难以完成.教学时建议将作线段垂直平分线的基本作图这一内容往后移或作另外安排.
针对以上分析中出现的问题,笔者结合浙教版教材的设计与安排(学完三角形全等的条件和尺规作图的定义后),在实际教学中整理了该基本作图的思路分析,以供同行参考.
2 笔者的教学设计
2.1 复习旧知渗透原理：用量角器画一个角等于已知角
请你画一个角等于∠AOB(如图1).学生在七年级上册第7章已经接触过,只要用量角器即可完成.先量出∠AOB的度数,再任意画一条射线DE,将量角器的零刻度线对准DE,点D与量角器的中心点重合,在量角器相应刻度位置描出一个点F,连接DF并延长,则∠EDF(如图2)就是所要画的角.
其画图的根本思路与原理是角的定义：角是由两条具有公共端点的射线所组成的图形,也可以看成一条射线绕着端点旋转而成的图形,其中一条射线称作角的始边,另一条称作角的终边.我们可以先任意画一条射线DE,要画∠EDF=∠AOB,关键是确定另一条边DF,而要确定射线DF,只要确定该射线上除顶点外的任意一点,此时量角器的刻度完成了寻找这一点的任务.即根据角的定义,画一个角∠EDF等于已知角∠AOB,最终转化为已知一条射线DE,确定一个点F.
2.2 呈现问题分析思路：用直尺和圆规作一个角等于已知角(尺规作图)
若将上题中的画图工具换成直尺和圆规,结合上面的分析,你能完成这个尺规作图吗？
思路分析如下：在上题的铺垫下,学生容易分析出作一个角等于已知角的关键是确定射线DF除D点外的任意一点.然而这样学生也很难形成作图思路,此时再引导学生,假设这样的点F已找到(如图4),若在射线DE上任意确定一个点G,则顺次连接点D、点G和点F就形成了一个三角形.这样就把作一个角等于已知角与三角形全等相联系,此时容易想到构造两个全等的三角形,显然,点D与点O对应；在射线OA上确定一点M与点G对应就是画一条线段等于已知线段,这容易办到；而问题的关键是找出点F的对应点,逆向思维,不妨在射线OB上先确定一点N,而后找出点N的对应点F.即已知MON,作GDF,使GDF≌MON.
设计分析与说明：在分析作一个角等于已知角的作图思路时,多次利用逆向思维进行分析与推理,如假设这样的点F已经找到,则结果会如何；假设满足条件的三角形GDF已找到,则会有对应的三角形MON存在；而后由已知角∠AOB构造出MON,根据MON作与其全等的三角形GDF.这种分析问题的方法对学生而言是一种重要的分析问题和思考问题的方法,也是数学上的重要的思想方法(其本质是分析法),因此借助尺规作图的思路分析渗透一种重要的数学思想方法,其教育教学意义及其重大.
2.3 展现过程形成作法：作一个角等于已知角.
作法：
(1)在∠AOB的两边OA、OB上各任取一点M、N,连接MN,得MON(如图2)；
(2)画射线DE,并在射线DE上截取DG=OM(如图3)；
(3)作GDF,使GDF≌MON(已知三边作三角形在上一节已介绍,具体做法此处不作赘述)；
延长DF,则∠EDF就是所要求作的角.
2.4 归纳提炼完善过程：基本作图(作一个角等于已知角)的作法
为方便起见,我们需要取OM=ON,这样为作图带来方便,从而得到了作一个角等于已知角的基本作法.从而展现完整的作图过程与具体的作法.
作法：
1.以点O为圆心,任意长为半径画弧,交∠AOB的两边与点M,N；
2.画射线DE,以点D为圆心,同样长为半径画弧,交DE于点G；
3.以点G为圆心,MN长为半径画弧,交原弧于点F；
4.连接DF并延长；
则∠EDF就是所要求作的角.
这样的作图思路是从角的定义出发,其分析思路与学生已学的知识(用量角器画一个角等于已知角和三角形全等的条件)紧密相连,新知识的获取建立在学生已有的知识和经验上,已有的分析问题和解决问题的方法和思路得到了延伸与拓展,学生在已有的知识和能力上获得了新的发展,符合学生学习的需要.
3 两点思考
3.1 尺规作图“贵”在作图思路的形成
在解答作图问题时许多教师一般直接给出作法,再给出证明,有时教师边介绍作法边让学生动手完成整个操作过程,几乎停留在机械的模仿操作阶段.这样的教学,教师只充当了解说员的作用,学生对知识的学习就如同建造“空中楼阁”,学生的思维不能得到根本上的发展.
对于作图问题不能仅仅要求学生知道作法、证明作法、解答相关习题,更不应该用仪器测量尺规作图是否标准,而应充分挖掘作法产生的原因,弄明白作图思路的形成过程.“作一个角等于已知角”浙教版教参尽管指出：对作法的思路教师可作些引导.然而对于这个思路的形成只能停留于老师的引导和分析上,学生很难想到.为此,笔者引导学生的作图思路就是从角的定义出发,其分析思路与学生已有的知识和经验(用量角器画一个角等于已知角和三角形全等的条件)紧密相连,新知识的获取建立在学生已有的知识和经验上,符合学生学习的需求,同时学生的能力也得到新的发展.会解决作图问题的重要标志是明白其作图背后的思路,尺规作图问题教学的关键在于帮助学生分析作图思路的形成,从而真正发展学生的思维和提升学生的能力.
3.2 有限的教材,创造的使用
笔者先后所任教过的两种版本教材――北师大版和浙教版,不论从编排体系还是教材内容安排来说都各有特色、令人耳目一新.但是任何一种教辅资料或教材都难以做到完美的境界,所以作为一线教师应深刻领会教材的编写意图,吸取各种教材在编写与设计上的优点为我所用,并在必要的时候对有些内容进行加工处理,力争做到“创造性”地使用教材.像北师大版教材在没有学习三角形全等条件的情况下安排了“作一个角等于已知角”这一内容,使得该尺规作图缺乏了理论支撑,学生在学完之后是一种“知其然而不知其所以然”的感觉.笔者建议在实际教学中调整部分教学内容的顺序,将“作一个角等于已知角”调整到学完三角形全等条件之后学习.而浙教版教材从编排顺序上是符合学生认知规律的,但就教学内容是否适量也值得商榷,尤其对基础薄弱的学生,更应减少教学容量,以确保课堂教学质量.对于教学参考用书上的教学目标和要求的完成,尤其是教参指出的“对于作图思路的形成教师可做些引导”,可“做怎样引导,如何引导？”这都需要一线教师潜下心去做深刻的分析与思考.
尽管教材呈现给我们的文字、图片、例题、习题是非常有限的,但是每一段文字、每一张图片背后所蕴藏的深意值得我们去思考、挖掘,它们留给我们思考的空间是无限的.因此,教材不过是一种教学素材,教材所提供的内容与设计总是有限的,我们应学会创造性地使用教材,以达到良好的教学效果.
参考文献
［1］ 柯郎•罗宾.《什么是的数学》(增订版)［M］.上海：复旦大学出版社,2004,9.
［2］ 李延林.几何作图贵在思路［J］.中学数学教学参考(中旬.初中),2009,9.
［3］ 张建鹏.几何作图教学的设计思路究竟在哪里？［J］. 中学数学教学参考(中旬.初中),2010,1～2.
作者简介 詹金芳，男，1977年生，浙江衢州人，中学一级教师.主要从事初中数学教材与教学研究，有多篇论文在省级以上刊物发表.