电动扶梯级数问题例析

电动扶梯正越来越多的出现于商场、展馆等公共场所，其级数计算问题也频繁见诸于各类测试中，电动扶梯级数问题究其实质也是一种行程问题，可类比为传统流水问题的形式变形，其中人速相当于船速，电梯速度相当于水速，而沿电梯运动方向行走类似于顺流航行，逆电梯运动方向行走类似于逆流航行，因此易得出关于能看到的电梯级数的两种计算公式：

能看到的电梯级数=(人速+电梯速度)×沿电梯运动方向所需时间=(人速－电梯速度)×逆电梯运动方向所需时间。

扶梯级数问题一般会设置两名不同速运动者(或一名运动者以两种不同方式运动)，而解决此类问题往往可以通过列方程，或者利用算术方法，下面本文拟按运动者与扶梯运动方向的异同例析此类问题。

1　运动者均与扶梯同向运动

这种题型是最为典型的扶梯级数问题，我们以两道国家公考真题为例予以剖析。

例1　(2005中央)商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级，结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有　(　)

A　80级　B　100级　C　120级　D　140级

分析　由题意易知男孩在扶梯上的速度为2级／秒，而女孩在扶梯上的速度为3／2级／秒，又知男孩和女孩分别走到上层的各自时间，可将此题转化成流水问题：甲、乙两只小船从A地顺流划到B地，其中水流的速度是匀速的，甲船在静水中的速度为2米／秒，乙船在静水中的速度为3／2米／秒，甲船用40秒到达，而乙船用了50秒到达，则A、B两地之间的距离有多少米?由此问题即变得更为明朗。

方程解法：设扶梯每秒钟上升x级，则40(x+2)=50(x+3／2)，解得x=1／2。

所以扶梯级数为40(x+2)=100(级)，选B。

算术解法：男孩走的总级数是40×2=80(级)，女孩走的总级数是3／2×50=75(级)，也就是男孩比女孩多走了5级阶梯，而这5级阶梯的差异是由扶梯10秒钟弥补的，所以扶梯速度是5／10＝1／2寺级／秒，从而求出可看到的阶梯是40(1／2+2)=100(级)。

例2　(2007山东)甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯上从底部向顶部行走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍；甲走了36级到达顶部，而乙走了24级到达顶部，那么自动扶梯露在外面的级数有(　)

A　68　B　56　C　72　D　85

分析　由“甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍”可知甲的行走速度是乙的2倍，因此甲走36级的时间相当于乙走18级的时间，可得甲、乙到达顶部实际所花费的时间比为36÷2／24，这个比的大小等同于露在外面的阶梯数分别减去甲、乙自身所走的阶梯数后的级数之比。

方程方法：(一)可设自动扶梯有Ⅳ级露在外面，列出方程

N-36／N-24＝36÷2／24，求得N＝72。选C。

(二)也可设甲、乙的速度分别为2u和u，设扶梯速度为x，则

(x+2u)・36／2u＝(x+u)・24／u，解得18x+36＝24x+24，x／u＝2所以(x+2v)・36／2u＝72

算术方法：

因甲的行走速度是乙的2倍，所以当甲走了36级到达扶梯顶部时，乙才走了18级，此时乙到顶部本应还需走36－18=18(级)，而事实上乙一共走了24级到达顶部，只比18级多了6级，说明其中有18－6=12(级)是扶梯自身走的，由此可以推断扶梯和乙的速度比为12:6=2:1，即扶梯的速度和甲的速度相等，那么相同时间内甲和扶梯所走的级数也相等，所以扶梯的级数为36×2=72(级)。

从上述两例我们也可感受到，尽管借助方程法或算术法均能较方便的解决扶梯级数问题，但后者显然更加简洁明了，对解题者来说往往起到事半功倍的效果，以下几例将直接运用算术方法分析解决。

2　运动者均与扶梯异向运动

例3　小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可向上跨越3级阶梯，警察每秒可向上跨越4级阶梯，已知该自动扶梯共有150级阶梯露在外面，每秒向下运行1.5级阶梯，问警察能否在自动扶梯上抓住小偷?

分析　为简单方便起见，全部以地板为参照物，小偷在扶梯上的实际向上速度为每秒3－1.5=1.5级阶梯，警察在扶梯上的实际向上速度为每秒4－1.5=2.5级阶梯，即在扶梯上警察比小偷每秒多向上1级阶梯，警察跑上电梯时与小偷相距1.5×30=45级阶梯，他追上小偷需要45秒，因此若小偷在扶梯上被抓住则其向上一共跑了30+45=75秒，在这75秒内，小偷可以跑到第112～第113级阶梯之间，没有超过150，所以警察能在自动扶梯上抓住小偷。

3　运动者与扶梯一同向一异向运动

例4　商场的自动扶梯匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下，如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级?

分析　根据题意可知男孩逆电梯而行，电梯给男孩帮了倒忙，其所走的80级比电梯静止时的扶梯级数多，反观女孩则是顺电梯而行，电梯帮助女孩前进，即女孩走的40级比静止时的扶梯级数少，显然男孩和女孩所走的级数比为80:40=2:1，而根据题意又知男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，即男孩的速度是女孩的两倍，从而可知男孩和女孩自身所走的路程比等于速度比，推得两人过扶梯所用的时间相等，又因为扶梯的速度一定，进而可以推出男孩逆向行走多走的级数与女孩顺向行走少走的级数相等，故可得静止时扶梯梯级有(80+40)÷2=60(级)。

例5　在商场里甲开始乘自动扶梯从一楼到二楼，并在扶梯上面匀速向上行走，同时乙站在速度相等的并排扶梯上随扶梯从二楼到一楼，当甲乙处于同一高度时，甲反身以原速向下行走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级，那么，自动扶梯不动时从下到上共有多少级?

分析　此题在情境设置上明显复杂化，但不难注意到乙仅随电梯运动，显然甲的运动是我们应侧重分析的对象，结合题意易知甲向上移动的速度为他与自动扶梯的速度和，向下移动的速度为他与自动扶梯的速度差，从“当甲乙处于同一高度时，甲反身以原速向下走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级”，得60／80=3／4，这说明甲乙处于同一高度时，甲所处的高度是扶梯总高度的3／4，此时乙随扶梯移动(即扶梯自身移动)的高度是扶梯总高度的3／4。

由上段结论知甲与自动扶梯的速度和跟自动扶梯本身的速度之比是3／4:1／4=3:1，即甲本身的速度与自动扶梯速度之比为2:1，从而甲和自动扶梯的速度差将与自动扶梯的速度相等，进一步推得甲向下实际移动的速度是向上实际移动速度的1／3，所用时间反为向上移动的3倍，意即相同高度内甲向下走的台阶数就是向上走的台阶数的3倍。

问题豁然开朗：甲从一楼到二楼顶端过程中向上走了80÷(3+1)=20级台阶，甲走20级台阶的同时自动扶梯自身向上移动了10级台阶，因此如果自动扶梯不动，一共会有20+10=30级台阶露在外面。