数值分析课程教学改革的实践与设想

【摘要】数值分析是联系数学理论与实际应用的桥梁，是理工院校学生的必修课.针对该课程的特点和教学过程中的一些问题，我们进行了多年的教学改革研究，对教学内容与教学方法提出了一些设想，经过实践取得了良好的效果.

【关键词】数值分析；科学计算；教学方法；教学模式

【中图分类号】G642；G420 【文献标识码】A

【基金项目】河北省教育厅科研计划项目（2010260），河北省自然科学基金项目（A2010000908）

一、引 言

数学问题的多样性与数学应用的广泛性及深入性，已经成为现代科技发展的重要特征.Napoleon的经典名言“国家富强，要靠数学发达”已被认为是一条不容置疑的真理.

数值分析是研究各种数学问题求解的数值计算方法及其理论.大数学家笛卡尔曾经说过，任何问题都可以转化为数学问题，任何数学问题都可以转化为代数问题,任何代数问题都可以转化为方程式的求解.由数学问题到方程式的转化以及解方程就是数值分析问题.随着计算机的广泛应用，几乎所有的学科都走向了定量化和精确化.数值分析是一门与计算机使用密切结合的实用性和实践性很强的数学课程，主要介绍科学计算的基本理论和基本方法.目前数值分析已经成为理工院校学生的一门核心基础课程.为了在有限的学时内达到教学目标，我们深入研究课程特点，并进行了较大幅度的改革，取得了显著成效.本文中，我们将与同行们交流近几年推行的改革措施并提出一些设想供大家指正.

二、数值分析课程教学中存在的问题

（一）内容多，课时少

这是一个各大院校共同面临的问题.首先，课程本身包含内容多.其次，数值分析方法是发展的，与时俱进的.随着数学应用越来越广泛，科学计算成为学术研究的热点问题，经典方法与现代手段结合得到不断改进，新方法、新理论也不断产生.在有限的课时内把所有的内容都有效地传授给学生对老师是一个挑战.

（二）内容相对独立，缺少连贯性

大多数教材对各种计算方法的讲述相对独立，不能很好地体现计算方法的发展过程和进步性，各种方法之间的融合较少，不利于激发学生的创新意识.

（三）重理论，轻实践

大多数教材理论较深，例题较少，题型缺乏应用背景，使得学生掌握了方法，却只会做数学题，解决实际问题的能力差.

（四）直观性差

由于数值分析课程本身的特点，教学过程需要多媒体辅助.但是很多多媒体课件仅仅是一些PPT.虽然对课时的有效利用有一定帮助，但是呈现给学生的仍然是繁琐的公式推导，没有充分发挥多媒体的动画功能，学生对方法的理解仍停留在书面意义上，对授课效果的提升有限.

三、我们的教学改革实践

近几年来，结合教学实践，通过完成教改立项和组织各种教研活动，“数值分析”课程在教学手段、教学内容、教学模式以及培养学生创新意识等方面取得了系列成果.

（一）教学手段

我们在使用多媒体课件的同时，深入挖掘计算机辅助教学的潜力，将越来越多的方法（例如三次样条插值、磨光算法等）制作成Flas，直观地展示这些方法的有效性及其作用过程.例如一个正方形（立方体）经过几次磨光之后逐渐变成一个圆（球），可以通过动画展示整个过程及每次磨光的效果.再结合理论说明使课堂内容通俗易懂，让学生知其然更知其所以然.不仅能够激发学生的学习兴趣，轻松接受各种算法，还可以帮助他们深层理解，增强应用和创新意识.

（二）教学内容

授课过程中注意内容的连贯性，还原学科发展历程，体现“方法源于需要，理论源于实践”.例如对于多项式插值我们给出如下关系图:

关系图说明：最古典的是多项式插值（包括：局部方法，一点处泰勒展开；整体方法，高次插值），但是由于次数较高时出现龙格现象，于是出现了分片或分段低次插值，克服了龙格现象但是分段点处不光滑，进而出现了样条函数理论.这样学生可以对课程有一个整体把握，同时感受数值分析方法的实用性与进步性.再比如多项式插值的Lagrange公式、Newton公式以及Chebyshev多项式三者的优缺点比较，以及Chebyshev多项式的节点选取是很关键的，再扩展一点，联系Leja点集和散乱数据插值的最优节点组的自适应选取便把学生带到了目前科学计算的研究热点.如此学生觉得数值分析不仅切实有用，而且仿佛站在了专家学者们身旁，激发了学生的学习激情.

（三）教学模式

教学内容为“理论阐述+算法推导+程序设计+算法实验+数值解分析+算法实践”.以“崇术重用”为原则，对于每个方法，我们适当删减繁琐冗长的证明过程及运算技巧，更多地结合实际问题和动画演示，直观地阐述方法的来源、方法的作用过程及效果.保证课程内容的深入浅出.增加上机实验，让学生自己动手解决问题.锻炼了他们的动手能力，符合理工院校高素质应用型人才的培养目标.

（四）上机实践

引进Mahtematica软件并完成了与教学内容的融合，自主开发了一系列教学示范程序.我们要求学生在掌握一定的编程能力和数值算法以后，能对现有程序做改进，能将所学的计算技巧融合使用.例如要求学生在非线性方程组的简单迭代程序基础上，编写加速迭代算法程序，将比较成功的算法改进展示给所有同学，对于有创新的帮助他们写成.作为课外作业，我们选择一些应用性较强，但是计算量难以手工完成的问题，要求他们利用所学数值分析方法，在计算机上编写程序语言并最终解决问题，并将这些作业完成情况作为课程期末考核的一个组成部分.这些措施提高了学生运用数学知识进行综合分析的能力和科学计算能力，收到良好效果.

四、教学改革的一点设想

各大院校普遍存在一个问题，就是不同院系之间缺少交流，不同学科专业的学生互不了解，缺乏交流合作，更缺乏合作意识.我们设想将今后的数值分析教学过程与数学建模结合起来，对学生进行跨专业分组，每组成员平时多多交流，对于上机作业以组为单位，发挥每个成员的专业优势，合作完成.学期末，每组随机抽取一个较为复杂的数学建模问题，限定时间内完成，作为课程考核的指标之一.鼓励研究生与其他专业的研究生或老师合作，实现资源共享和知识互补，共同解决研究中碰到的科学计算问题.让他们在学习研究中获得快乐.

几年来，我们以培养学生科学计算能力为重心，以“分析与计算并重、经典与现代交融、方法与实验互证”为理念的教学改革实践激发了学生的学习兴趣，增强了学生的创新意识，提高了学生应用所学解决实际问题的能力，为以后从事科学研究工作奠定了必要的数学基础.同时也锻炼了教师队伍，在与学生的互动中，教学相长，提高了教学水平，得到了专家们的好评.

【参考文献】

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