理工科专业学生的高等数学能力探究

高等数学学习对理工科专业学生思维方式影响和专业思维能力培养是其他学科所无法比拟的，因为有许多经典数学的逻辑思维模式及数学解决问题的分析方法贯穿其中，甚至在近代许多高科技领域的研究过程中仍借鉴着数学科学的这种模式与分析。任何高新技术的创新无不是通过数学模型和数学思维方法并借助于计算机来实现的。这里不仅是借助于数学作为工具，更是模仿数学思维方式与技巧。具备扎扎实实的现代数学科学的理论基础和基本能力，是几乎所有科学技术领域人才必备的基本素质。理工科学生的高等数学学习，就不应仅是学生获取一定的基础理论、基本知识和基本运算方法，更重要的应在于其是培养学生科学素质的主渠道，是发展学生“创造性应用能力”和“创新精神”的主战场。所以说，高等数学的学习目标应着手于基础知识的掌握，着眼于能力的培养发展。

理工科学生的高等数学能力构成

1.学习高等数学的能力。一是数学感觉和判断能力。一个专业问题摆在面前，首先要判断它是不是数学问题？是哪一类数学问题？包括哪些能察觉的数学因素？例如，函数变化、随机观察、几何描述、优化决策和计算算法等，这就要能够对数学本质有所理解，从宏观上能够进行大体的判断；二是数据搜集与分析能力。数字化时代，数据无处不在。能够收集数据、分析数据、驾驭数据，用各种数学方法，特别是数理统计方法指导自己的专业学习探究；三是数学抽象与数学表示能力，即会使用高等数学原理、符号、公式抽象地表示客观事物发展的规律，能够将具体的专业问题中数量关系表示为可以运算的数学模型；四是归纳猜想与合情推理能力，即善于运用类比、联想、归纳等一般科学方法，观察专业问题的数量关系，做出猜想；五是数学联结与数学洞察能力，即掌握数学的本质，提炼高等数学思想方法，欣赏高等数学的魅力；六是数学计算与算法设计能力。对数字与符号依一定算法可进行运算，对大量专业问题的数据进行处理，是专业学习的实际需要；七是理性思维与构建体系能力。掌握高等数学的辨证理性思维特征，不走极端，不含糊马虎。在专业学习中能够数学地思考问题，并和别人进行专业数学交流，最终形成比较完整的专业数学的思想体系。

2.创造性应用数学能力。包括提出专业数学问题和质疑的能力，即具有怀疑、善于思考、敢想的品质；建立新的专业问题的数学模型，并解决专业的实际问题的能力；将一类的专业问题进行数学联结的能力；构建专业学习探究中的新数学对象（概念、理论、关系）能力；善于运用计算机技术展现专业发展中的数学规律的能力；辨明“好的专业数学方法”和“不太好的专业数学方法”的能力。

高等数学能力实质上就是“经典数学知识产生于本专业以及应用经典数学知识、方法解决本专业问题”的能力。两种不同的数学能力是与学习活动和任务性质相关联的。只有明确两种水平能力的内涵和关系才能把握高等数学能力培养的科学方法。

理工科学生的高等数学能力培养

1. 知识学习。一是知识目标。理工科的高等数学知识除了“有效知识，先进知识，在今后学习和工作中探究和开拓创新以及培养学生专业能力中长期发挥作用的知识”外，一些基础性、经典性的知识和方法仍是培养学生数学学习能力的基础。例如，分析与代数、几何的相互结合知识，向量的表达，重要的数学思想方法等知识的学习，以及数学知识方法与专业知识相互交融的知识和赋予专业背景的数学知识等等，这些应是学生创造性应用数学能力发展的不可逾越的基础。二是 知识呈现。传统的数学教学多以静态形式呈现数学知识。为了培养学生创造性应用数学的能力，应采取动态形式呈现高等数学知识的教学，不仅要使学生学到许多重要的数学概念、方法和结论，而且学会数学的思想方法，领会数学的精神实质，使学生感觉到他们所学知识是有其现实的来源和背景，有其物理原型和表现。为此，教学方法应由注入式向启发式讨论和研究式发现转变，以培养和提高学生的自主数学学习能力。

2.数学思想方法的学习。数学是自然科学与社会科学中的数量关系概括，而哲学是自然科学与社会科学的思想概括。学生要真正从宏观到微观理解把握高等数学思想方法，需要先对高等数学，乃至一般的科学数学方法，直至数学的解题方法有一定的哲学范畴认识。

第一，数学的哲学范畴理解。包括数学形式和内容的理解；数学运动与静止的理解； 数学偶然与必然的理解； 数学观念与本质理解；数学原因与结果的理解。其他如精确与近似（计算数学），整体与部分（函数的整体性质与局部性质，如最值与极值等），同一与差异（模糊数学）等，都是理解重大数学思想方法的视角。这些重大的数学思想方法是一个大学生的重要修养。学习高等数学，打好数学基础，就是用数学观点来深刻理解专业知识，教师要有意识地在高等数学教学中加以阐述、点拨。

第二，一般的科学数学方法领会。培养学生创造性应用数学能力，学生就得掌握一般科学方法。与一般科学方法相对应的数学方法有：分析与综合，对一个事物进行分析，首先要加以分类，数学分类强调“不重不漏”，这是为了保证数学结论的完备性和独立性，又如，高等数学中的微积分，是指无穷小的，为其他学科所没有。数学的综合，更多体现在数学学科之间的交融；归纳与演绎。数学是一门演绎科学，也使用一般的归纳法，并且是一种不完全归纳法，这种归纳法是跨越无限的思想实验，在描述具体事物时通常只能进行有限的归纳，这是数学特有的方法；数学实验方法。数学中的实验，多半是思想实验，即假定某条件，那么会有某结果，因而可以达到目的或否定命题。由于计算机技术的使用，数学教学中常做一些计算性的检验，通过计算一些特例得到普遍的猜想，甚至用近似的方法逼近最后结果，这种过程类似于专业的研究。

其他如观察、类比、联想等一般科学方法，都可以在数学中加以应用，作为手段，培养学生专业素质。当然以上介绍的一般科学数学方法的学习，单靠讲解是没有用的，只能在学习中逐步体会。

第三，解题方法掌握。学习数学不仅仅是为了解题，而是通过学习解题掌握其方法，更好地服务于专业的学习研究。一要了解数学的特有方法，包括① 公理化方法；② 化归方法；③ 函数极限思想方法；④ 方程思想方法；⑤ 概率统计方法。二要学会解题，掌握一些解题方法策略，即一些原理和步骤。第一步，判断问题的类型，找出问题的数学核心所在，如对一个问题属于哪一类？是函数问题、微积分方程问题还是概率统计问题。实质是什么？是证明化归，优化等等哪一类，大的方向判断正确了，解题才能运用自如。第二步，掌握一些基本原则，包括模型化的原则； 简单化原则； 等价变换原则； 映射反演法则（RMI）；逐次逼近原则。当一个问题的解答不能满足问题的所有要求的时候，可以先满足第一个要求，再满足第二个要求，一一逐步接近最后解答，当然也包括求近似解，逼近到一定程度，就算符合要求。第三步，选择适当的技巧。如对数求导法、换元积分法等方法，都必须通过实际演算逐步地领悟，并能灵活运用。