哲学在微积分学中的体现

摘要：在微积分学的教学和研究过程中，笔者发现微积分的很多内容中都蕴含了大量的哲学思想。本人在对微积分学哲学原理的研究中，也对微积分本身有了更深层次的理解，对有些内容更是在认识上有了质的飞跃。

关键词：微积分学；哲学；联系

中图分类号：B文献标识码： A

数学是自然科学中的一门抽象学科，通过对数学的学习可以培养人们的抽象思维意识和逻辑思维意识。作为数学中最为重要的部分――微积分学，由于其从常量数学发展到了变量数学，从而更难理解，却也更能培养人们思维的严密性和完整性。因此笔者在研究微积分理论和讲授方法的过程中，发现微积分学中蕴含了大量的哲学思想。难怪马克思也会对微积分产生浓厚的兴趣，并在学习微积分的过程中写下了《数学手稿》一书，甚至在他的的著作《资本论》中也渗透了微积分学的思想。本人在对微积分学的哲学原理研究中，对微积分学有了更深层次的理解，对有些内容更是在认识上有了质的飞跃。

1. 从特殊到一般[1]

人们认识事物的规律大多是从特殊到一般的。在微积分中，也有很多知识是遵循这一规律的。

在微积分中，有三个十分重要的定理，即微分中值定理，它们对微分的应用起着重要的理论支撑作用。这三个定理分别是Rolle定理（如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）；那么至少存在一点,使得），Lagrange定理（如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；那么至少存在一点,使得），Cauchy定理（如果函数和满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）；那么至少存在一点,使得）。现在来分析这三个定理之间的关系。首先来考察Rolle定理和Lagrange定理之间的关系，容易看出两个定理的条件（1）、（2）是完全相同的，不同是Rolle定理多了条件（3），这说明Lagrange是在Rolle定理的基础上去掉了一个条件，这样就减少了内涵的限制，同时又扩大了外延，从而把Rolle定理的结论更向一般的情形推进了一步，得到了Lagrange定理。再来考察Lagrange定理和Cauchy定理的关系，将Lagrange定理的结论进行如下改造：。不难发现等式右端的分母是的导数，而左端的分母恰好是函数在端点处的差值，而这正是Cauchy定理的一种特殊情形。

通过分析发现：由Rolle定理推广到了Lagrange定理，又由Lagrange定理推广到了Cauchy定理，这正是我们的认识逐步深入，从特殊到一般的过程，从而使我们的认识进入到更高的层次。

2. 对立与统一

世界上的万事万物都有着千丝万缕的联系，有时看上去毫无关系，甚至是相互对立的两件事，通过分析却能找到两者之间的内在联系。

比如导数和积分，从定义上来看两者毫无关联，但从其本质上看就能发现导数是特殊的除法，而定积分是特殊的乘法，两者是对立的；而微积分基本公式（若函数在闭区间上连续，是在上的一个原函数，则）表明：定积分要应用不定积分来求解，而不定积分运算与导数运算是互逆运算。这说明导数与积分是可以相互转化的统一体。事实上，正是因为这一定理的发现，得以建立了整个微积分学体系，使得数学的研究产生了一次质的飞跃。

从上面不难看出，有时事物的联系是非常隐秘的，人们只有坚持不懈地去探索和发现，才可能找到它们的内在联系。

3. 量变与质变

质和量是事物存在的最具有普遍性的规定。世界上一切事物都会有质与量这两种规定性的变化，即量变与质变。事物会由量变引起质变，从而产生飞跃。在微积分的学习中，如果不遵循这一规律，就不能通过事物的量准确地把握事物的质，从而使我们在学习数学时陷入困顿。

以无穷小量为例，无穷小量的性质中指出：有限个无穷小量之和仍然是无穷小量。如果把性质中的“有限” 改为“无限”，那么无限个无穷小量之和并不一定是无穷小量，因为从定积分不难看出，定积分正是无限个无穷小量之和，而显然定积分不全为零。这正是因为将“有限”改为“无限”时量发生了改变，从而引发了质的改变。

在研究微积分学的教学中，只有充分注意到量的变化，准确地把握量的界限，才能在更好的去学习数学、应用数学。

4. 实践―理论―实践

认识的辩证过程是指通过实践和调查研究获得丰富的感性材料，再运用科学的思维方法对感性材料进行加工，将感性认识上升为理性认识，即实践―理论；再将形成的理论认识和具体实践相结合，将理论知识应用于实践中去，让理论更好的指导实践，即为理论―实践。而在微积分学里，其理论知识也符合这一要求。

在现实生活中，有时我们需要计算一些这样的改变量：如物体受热膨胀后增加的面积或体积，物体运动过程中很短时间段内走过的路程等问题。这些改变量我们往往只需要计算其近似值即可。通过对这些实际问题的研究，人们发现这些问题的数学模型经计算后，所求的改变量总等于两部分的和：一部分是自变量增量的线性部分，另一部分是当自变量增量趋于零时，比自变量增量高阶的无穷小。而由于第二部分的值非常小，所以在实际应用中往往会忽略该部分，只需求出第一部分即可，于是人们对第一部分所算出的结果给以定义――微分。在给出微分的概念后，利用微分公式，可以推出一些在工程上常用的近似公式，如：，，，，，利用这些公式直接计算，会给实际的工程应用提供简便。当然，利用微分的近似计算也可以应用在物理学和经济学中。对于微分的形成和应用，正是哲学中认识的辩证过程的体现。即从实践生活中发现问题，为解决问题进行研究归纳，从而成为理论知识，再将理论知识应用于实践中去，为实践提供更有效的服务。事实上，数学中的很多概念的形成和发展都是来源于实践，又再服务于实践。

从上面的讨论不难看出，在微积分学中蕴含了大量的哲学思想，这些哲学思想能更好的指引我们学习数学、研究数学。深入地对微积分问题作哲学分析，可以帮助我们找到解决问题的突破口，从而对微积分有更深层次的理解。

参考文献

[1] 张宝全. 高等数学与哲学的融合[J]. 中国科教创新导刊，2011:112

[2] 张绥. 数学与哲学[M]. 学林出版社，1988,6

[3] 董毅. 浅论数学与哲学的紧密联系[J]. 合肥教育学院学报，2002,19:15-30

[4] 肖前. 马克思主义哲学原理[M]. 北京：中国人民大学出版社，1998