我国可赎回债券的定价问题

*谢为安，复旦大学经济学院；Email： ，通讯地址：上海市邯郸路220 号，邮政编码：200433；蔡益润，复旦大学经济学院；特别感谢匿名审稿人提出的宝贵意见，但文责自负。

摘要 本文从理论上揭示了我国可赎回债券的价格形态及其存在性，证明了可赎回债券价格的蒙特卡罗模拟量具有无偏性和一致性，并建立了可赎回债券价格的置信区间。在经典的BK模型基础上，引进新的变量，重新构造出适合中国债券市场特点的利率模型，确立了基于同期限收益率曲线的我国可赎回债券的定价方法，克服了构造完整收益率曲线的困难，从而解决了我国可赎回债券的定价问题。最后本文拟定了可赎回债券价格的蒙特卡罗模拟程序，计算出中国市场上35只可赎回债券的赎回权价值、理论价格及其价格的95%置信区间，并为市场参与者提出了一些相关的建议。

关键词 可赎回债券 蒙特卡罗模拟 BK模型

一、问题的提出

在当今证券市场上，金融工程的思想、原理日益渗透到债券的发行之中。公司在投资活动过程中，为了更好地把握好风险和收益之间的关系，在一些发行的债券中嵌入某种或多种未定权益，从而增强筹资的灵活性，达到某种筹资的效果。如，可赎回债券、可回售债券以及可转换债券等。

虽然我国的债券市场发展的时间较晚，但市场上已出现过嵌入各种形式的未定权益债券，其中嵌入可赎回条款的债券是市场上一种典型的品种。到目前为止，市场上已发行了100多只可赎回债券（根据resset数据，统计得出）。因此讨论它们的定价问题是有其现实意义的。为了顺利地展开本文的研究工作，我们首先要弄清楚可赎回债券的属性，其次要认识我国市场上可赎回债券所具有的特点，最后提出本文所要研究的重要问题。

（一） 我国可赎回债券的特点

可赎回债券是一种含有赎回条款的债券，该条款允许发行者在一定的条件下，按事

先约定的时间、约定的价格（一般高于或等于债券面值）从持有者手中买回债券。对于债券的发行者来说，实质上这是一种债券价格的看涨期权，即赋予发行者一种权利――在债券的价格上涨（利率下降）时可以以某固定价格（赎回价格）购买该债券的权利。显然，可赎回债券是一种保护发行者的一种融资工具。

一般，按照赎回时间的不同，可赎回债券可以分为欧式、美式和百慕大三种形式。欧式可赎回债券赋予发行人只能在一个固定的日期（一般是赎回保护到期前最后一个付息日）行使赎回债券的权利；美式可赎回债券赋予发行人可以在任何时刻赎回债券的权利；百慕大可赎回债券赋予发行人可以在几个约定的时间（这些时间往往与付息日重合）赎回债券的权利。

目前我国现有的可赎回债券主要有如下一些特点：

第一，现有的可赎回债券大多数是以固定利率发行的，并且赎回权主要为欧式期权；

第二，大部分为次级债券，少数为金融债券、中期票据等其他债券；

第三，交易市场主要为银行间债券市场；

第四，几乎所有可赎回债券只设一次选择提前赎回债券的权利，一般都按照面值赎回，且为补偿投资者的损失而实行累进利率制，即如果发行人不执行赎回权利，那么之后的计息年度的利息率将上调100至300个基点。

另外，发行可赎回债券的机构都具有一定资质和背景，破产的可能性微乎甚微。

我国可赎回债券市场的这些特点，为我们为之定价提供了重要的思路。

（二） 问题的提出

相对于世界上成熟的债券市场来说，我国的债券市场发展较晚，比较年轻幼稚，在债券价格形成过程中，存在着更多的不确定性因素，导致债券收益的随机程度较高。针对这一具体情况，本文将重点探讨市场上以固定息票发行的欧式可赎回随机贴现债券（下文简称为我国可赎回债券）的定价问题。

目前，可赎回债券的定价方法有很多种，如利用带边界条件的偏微分方程（PDEs，partial differential equations），或者利用优化方法，或者利用二叉树方法来为可赎回债券进行定价，等等。Büttler and Waldvogel（1996）提出利用格林函数、Vasicek模型(Vasicek,1977）及CIR模型(Cox et al.,1985) 为欧式和半美式可赎回债券定价； DHalluin et al.（2001）建立更一般的带有边界条件的数值偏微分方程来计算可赎回债券价格。我国也有学者进行这方面研究。如，秦学志和吴冲锋（2000）基于博弈机制和最优停时原理，分析了可赎回债券的债权人和债务人之间的博弈关系，建立定价的较一般方法；龚朴等（2004）利用可转换债券的定价模型，提出对应于赎回、回售以及提前转换等条款的边界条件，导出了有限元方法的求解格式；郑振龙和康朝锋（2006）运用二叉树方法，计算出我国市场上部分可赎回债券的价格，并研究了久期、凸性等债券性质。

然而，本文的定价方法是不同于上述方法的。究其原因是，将随机收益率引进可赎回债券定价的偏微分方程方法或优化方法中，会使得定价的方程或模型变得更加复杂，给求解增加难度；由于蒙特卡罗模拟方法可适用于具有鞅性质的资产价格估计(Hull,2005)，如果能将可赎回债券定价问题归结为一个等价测度鞅问题，那么就可以克服前两种定价方法所遇到的困难；当然，二叉树方法也是一种较好的估价方法，也可以避免这些困难；尽管二叉树方法在以后的节点上也能衍生多条模拟路径，但是它在一开始只能获得两条模拟路径，而蒙特卡罗模拟方法一开始就能产生许多条（如5000条，10000条等）模拟路径，自始至终能较好地模拟瞬息万变的金融市场；从行为金融的角度来认识，蒙特卡罗模拟方法能够模拟金融市场上形形的投资者心态。鉴于以上种种原因，从而笔者不采用上述的定价方法，试图应用蒙特卡罗模拟方法来对我国可赎回债券进行定价。

同时我国债券市场的不完善性又决定了本文的定价思路不同于目前国际上基于完整收益率曲线的定价过程。因为我国市场上国债的品种有限，期限结构不甚合理，所以这就给我们通过市场来构造完整的收益率曲线造成困难。为了克服这一困难，本文必须开辟新的蹊径。

上述的主要思路也就引申出本文所要研究的问题。第一，揭示欧式可赎回债券的随机贴现价格（下文简称为可赎回债券价格）形态及其存在性；第二，讨论可赎回债券价格的蒙特卡罗模拟量及其性质；第三，构造适应我国债券市场特点的国债收益率模型，确定可赎回债券价格的贴现因子；第四，拟定基于同期限收益率曲线的可赎回债券价格蒙特卡罗模拟程序；第五，对基于同期限收益率曲线的我国可赎回债券进行定价。下面，本文将着重围绕这些问题展开讨论。本文的第二部分将从理论上来阐述定价上的第一和第二个问题，第三部分将解决定价上的第三个问题，第四部分分别从技术层面和实证方面来说明研究第四和第五个问题的实际意义。

二、 可赎回债券价格的理论分析

本节将从理论上来阐述可赎回债券价格形态、蒙特卡罗模拟量及其所满足的性质等问题。

（一） 可赎回债券价格形态

由可赎回债券的特性知，对于拥有赎回权的发行者来说，他们持有一份债券价格的看涨期权，或者说，债券持有者出售给发行者一份看涨期权。由此不难想象，可赎回债券价值与除了赎回条款外其他条件相同的债券价值之间就存在着一定关系。

如果记初始时可赎回债券价格为BC，相应的无赎回债券价格为B0，赎回权的价格为C。赎回权是在标的价格上升时可以购买标的资产的权利，C就是这种权利的价格。根据无套利原则，它们在初始时价值应该相等，即

BC=B0-C。 （1）

因此，可赎回债券价值小于相应的无赎回债券价值。通常发行者将尽量最大化赎回权价值，以减少债券价值，加速筹资的过程，并且在将来可以利用利率下降（债券价格上升）的机会，行使赎回权利，赚取价差并了结将来还本付息的压力。

另一方面，考虑该可赎回债券面值为B，期限为N，在第k期有权赎回债券，赎回价格为X，t时期的利率为rt（这里rt表示债券市场上零息票国债收益率，具有随机性，下文简称为债券市场的收益率），息票为c。

如果行使赎回权，那么可赎回债券的现金流贴现价值为

∑kt=1c(1+rt)t+X(1+rk)k， （2）

相应地，不行使赎回权的可赎回债券的现金流贴现价值为

∑Nt=1c(1+rt)t+B(1+rN)N， （3）

发行人将根据两者的最小值来决定是否行使赎回权（可参见上面综述中的文献）。由无套利与等价鞅测度定价的理论(Duffie,2001)知，如果

min∑kt=1c(1+rt)t+X(1+rk)k, ∑Nt=1c(1+rt)t+B(1+rN)N （4）

的期望确实存在，那么可赎回债券价格的鞅形态为

BC=Emin∑kt=1c(1+rt)t+X(1+rk)k, ∑Nt=1c(1+rt)t+N(1+rN)N,（5）

其中E［•］表示在等价风险中性测度P下的期望。相应的无赎回债券价格与BC之差就是赎回权价值。

（二） 可赎回债券价格的存在性

实际上，息票、利率、债券的赎回价格以及面值等金融变量均为非负有界量，且随机金融变量的概率密度函数大多是存在的。因此在实际条件成立的情况下，可以证明式（5）所示的可赎回债券价格BC的存在性。

记

f(r1,…,rN)=min∑kt=1c(1+rt)t+X(1+rk)k, ∑Nt=1c(1+rt)t+B(1+rN)N,（6）

于是，可赎回债券价格Bc的存在性等价于f的数学期望的收敛性。

定理1：设t=1,…,N时的利率(r1,…,rN)的联合概率密度函数φ(r1,…,rN)存在，且X与B有界，c≤X，则BC=Ef=∫+∞-∞…∫+∞-∞f(r1,…,rN)dF(r1,…,rN)收敛。这里F(r1,…,rN)为利率(r1,…,rN)的联合分布函数。

证明：我们要证明的是

∫+∞-∞…∫+∞-∞f(r1,…,rN)dF(r1,…,rN)

=∫+∞-∞…∫+∞-∞min∑kt=1c(1+rt)t+X(1+rk)k, ∑Nt=1c(1+rt)t+B(1+rN)N

•φ(r1,…,rN)dr1…drN (7)

收敛，这只需证明积分

∫+∞-∞…∫+∞-∞∑kt=1c(1+rt)t+X(1+rk)k•φ(r1,…,rN)dr1…drN

和

∫+∞-∞…∫+∞-∞∑Nt=1c(1+rt)t+B(1+rN)N•φ(r1,…,rN)dr1…drN

都收敛即可。我们首先证明第一个积分收敛。因为c与rt是非负变量，f与φ是非负函数，所以

0≤∑kt=1c(1+rt)t+X(1+rk)k•φ(r1,…,rN)

≤∑kt=1X(1+rt)t+X(1+rk)k•φ(r1,…,rN)≤(K+1)X•φ(r1,…,rN )

而

∫+∞-∞…∫+∞-∞φ(r1,…,rN)dr1…drN=1

收敛，所以

0≤

∫+∞-∞…∫+∞-∞∑kt=1c(1+rt)t+X(1+rk)k•φ(r1,…,rN)dr1…drN≤(K+1)X

即收敛。同理可得，

∫+∞-∞…∫+∞-∞∑Nt=1c(1+rt)t+B(1+rN)N•φ(r1,…,rN)dr1…drN也收敛。因此，积分（7）收敛。证毕。

由定理1可以得到如下推论，

推论1：方差Df=Dmin∑kt=1c(1+rt)t+X(1+rk)k, ∑Nt=1c(1+rt)t+B(1+rN)N存在。

证明：由定理1证明过程可见，变量f有界，从而变量f2有界，因此Ef2存在；再由定理1知，(Ef)2 存在；因为Df=Ef2-(Ef)2，所以方差Df存在。证毕。

上述的定理1与推论1，是我国可赎回债券定价的理论基础。

（三） 可赎回债券价格蒙特卡罗模拟量及其性质

由式（5）及式（6）可见，可赎回债券价格BC=Ef，其中f为随机利率rt(t=1,…,N)的函数。通常，我们用算术平均值作为随机变量均值的估计量。这就为我们构建可赎回债券价格蒙特卡罗模拟量提供了思路。

按照利率rt(t=1,…,N)的随机性，我们可以随机生成M条路径。若第m(m=1,…,M)条路径上的随机变量为(U1,…,UN)m，则这M个随机变量{(U1,…,UN)m,m=1,…,M}是独立的且与(r1,…,rN)具有同样的联合概率分布，并且由此形成的随机变量函数序列{f［(U1,…,UN)m］,m=1,…,M}也是独立的。于是，BC的蒙特卡罗模拟量(Glasserman,2004)就可以表示为

B ∧C=1M∑Mm=1f［(U1,…,UN)m］。 （8）

须注意，蒙特卡罗模拟量是可赎回债券价格的一个估计量，是一种理论价格。这种理论价格与其价格接近的程度究竟如何？这就需要我们来讨论可赎回债券价格蒙特卡罗模拟量的特性，即无偏性和一致性。

定理2：估计式（8）是无偏的，即

EB ∧C=BC （9）

证明：EB ∧C=E1M∑Mm=1f［(U1,…,UN)m］=1M∑Mm=1E(f［(U1,…,UN)m］)

=1M∑Mm=1BC=BC。证毕。

由于f的数学期望存在且等于真实值BC，且序列{f［(U1，…,UN)m］,m=1,…,M}是独立的，根据柯尔莫戈罗夫强大数定律，当M∞时，

B ∧Ca.s.E(f)=BC，（10）

其中a.s.表示几乎处处收敛（即强收敛）。这就得到

定理3：估计式（8）是一致的。

定理2及定理3表明，可赎回债券价格蒙特卡罗模拟量具有良好的性质。特别是，定理3说明了在模拟路径足够多时蒙特卡罗模拟量将充分接近可赎回债券价格。这从理论上证明了用蒙特卡罗模拟方法作为可赎回债券价格的一种估计方法是可行的。

为了进一步认识蒙特卡罗模拟方法在可赎回债券市场上的应用价值，下面，我们将讨论可赎回债券价格蒙特卡罗模拟量的概率分布及其在价格区间估计中的作用。

记方差Dmin∑kt=1c(1+rt)t+X(1+rk)k, ∑Nt=1c(1+rt)t+B(1+rN)N为σ2f，那么根据中心极限定理，可赎回债券价格蒙特卡罗模拟量的误差B ∧C-BC近似服从均值为0，标准差为σf/M的正态分布。

当BC未知时，参数σf一般也是未知的，但可以用的样本标准差

sC=1M-1∑Mm=1(f［(U1,…,UN)m］-B ∧C)2 （11）

来估计。这样，我们不仅可以通过蒙特卡罗模拟量来估计可赎回债券价格，而且还可以计算可赎回债券价格BC的置信区间。

当M∞时，令uδ为标准正态分布的1-δ分位数（即Φ(uδ)=1-δ），那么

B ∧C±uδ/2sCM （12）

就是BC的渐进有效1-δ置信区间。例如，对于一个95%的置信区间，δ=0.5,uδ/2≈1.96。通常M为有限数，标准差是估计量而非真正值，我们可以用M-1个自由度的t-分布的相应分位数来代替uδ/2，这样会得到一个稍宽的区间。不管用哪种方法，该区间包含BC的概率在M∞时趋于1-δ。

由定理1的推论知，可赎回债券价格的方差是存在的。再根据数理统计学理论，当M∞时，样本方差为可赎回债券价格方差的一致估计量，即s2Cσ2f。因此，在M∞时，sC也存在，即为有限量，从而B ∧C就趋于BC（见式（12））。这再次说明：在模拟路径足够多时，运用蒙特卡罗方法对可赎回债券进行定价，这是一种行之有效的方法。

三、 适合我国长期债券市场的收益率曲线

由式（5）可见，在对可赎回债券进行定价之前，必须先构造出适合中国债券市场特点的国债收益率模型。

经典的利率模型有：Vasicek均值回复模型（Vasicek，1977）、CIR模型(Cox et al.,1985)、BDT模型（Black et al., 1990）、Hull和White模型（Hull and White,1990，1994a,1994b）以及BK模型（Black and Karasinski，1991）。

鉴于我国债券市场的特殊性，这些经典的利率模型都不能完全不变地适应我国的实际情况。因此，我们需要结合我国的利率数据，对各种经典的利率模型进行检验和修正，建立与我国债券市场相适应的收益率模型。事实上，我们利用具有与市场上可赎回债券期限相一致的普通国债收益率数据，作为定价模型中的利率序列，并对BK模型进行修正及其检验，构造与我国可赎回债券期限相对应的收益率曲线，从而克服构造完整收益率曲线的困难。

须强调，目前我国市场上发行的可赎回债券大多属于长期债券，且这些债券的期限基本上为10年或15年两种期限，因此样本中普通国债的期限也应该相应地为10年或15年。严格地说，这里将构造10年或15年期的固定利率国债收益率曲线在谢为安和蔡益润(2011)的论文中，曾论述过修正的BK模型是一个比较适应我国长期债券市场上国债收益率曲线的模型。这里，我们再进行一次深入的探讨。。具体过程如下。

将BK模型离散化为

Δlnrt=(a+blnrt)Δt+σεtΔt， （13）

其中a,b为常数，εt是服从标准正态分布的随机变量。令Δt=1，方程可写为

Δlnrt=a+blnrt+σεt。 （14）

根据目前我国10年和15年期的固定利率国债收益率日数据（样本取自：2006年3月1日至2009年3月16日，数据来源：Wind资讯），对利率模型（14）分别进行普通最小二乘回归，结果（表1中的第二行和第四行数据）表明，我国10年和15年期国债收益率模型的参数估计都不显著（t检验），决定系数R2较小，并且都存在异方差性（怀特异方差性检验）和一阶自相关性（德宾沃特森检验）（Greene,2000）。

为了克服这一问题，我们引进变量ωt=(lnrt+1-c ∧+d ∧lnrt)-2，并用该变量乘以式（14）两边的各项，得到如下的模型：

ζt=aωt+bηt+σνt， （15）

式中ζt=(Δlnrt)•ωt,ηt=(lnrt)•ωt,νt=εt•ωt，常数c ∧与d ∧为利率对数的一阶自相关模型参数的普通最小二乘估计量。

再对利率模型（15）分别进行回归，结果（表1中的第三行和第五行数据）表明，模型的回归系数都非常显著，不存在异方差性和一阶序列相关性，且决定系数均在R2=0.99以上，拟合得甚好。检验的结果表明，式（15）是一个比较适应我国长期债券市场上10年和15年期国债收益率曲线的模型。

表1 目前我国10年和15年期国债收益率（固）模型估计

注：表中括号里的数值表示参数估计量的t值；DW为德宾-沃特森统计量；Obs*R2h～,χ2(2), χ20.05(2)=5.99,观察值数目Obs=791。

四、 可赎回债券价格的模拟程序及其应用

下面，我们将基于10年和15年期国债收益率曲线，拟定可赎回债券价格的蒙特卡罗模拟程序，并对我国市场上相应的可赎回债券进行定价。

首先，拟定基于同期限收益率曲线的可赎回债券价格蒙特卡罗模拟程序。

分隔可赎回债券的期限，令0

（1）估计利率动态方程（15）的系数：a ∧、b ∧、σ；

（2）对于第m次循环（m=1，…，M）：

a) 对每个时间间隔生成随机数ε1,t=t1,t2,…,tN；

b) 代入式（15），计算rtm；

c) 根据债券的息票条款，确定赎回期前后债券的息票c；

d) 根据式（4），计算Bcm；

（3）计算B ∧C=1M∑Mm=1Bcm，即为可赎回债券价格的估计量。

由定理3知，当M∞时，B ∧C就成为式（5）所示的可赎回债券价格。

另外，根据式（12），可赎回债券价格95%的置信区间为

B ∧C±1.96sCM， （16）

其中1.96是标准正态分布2.5%的分位数。

其次，确定应用软件和模拟次数，计算基于同期限收益率曲线的我国可赎回债券价格。

现从我国固定利率债券市场上，选出35种欧式可赎回债券及其相应的普通债券，这些债券的期限结构分别对应上述的10年、15年期国债收益率曲线。 以2009年3月16日为定价日，即从该天开始，利用式（15）和式（16）, 对这些债券价格进行蒙特卡罗模拟。其实，市面上有许多种计算软件可被用来为金融资产定价服务。为了提高计算效率以及达到更好的模拟效果，这里我们运用了目前负有盛名的MATLAB 科学计算软件，且确定5000条模拟路径，分别计算出35种可赎回债券的理论价格、价格区间估计、与普通债券的价差及其赎回权价值。模拟结果如表2所示：

注：表中的字母“N”表示缺省值。

综上可见，基于同期限国债收益率曲线的可赎回债券价格蒙特卡罗模拟，是不同于经典的基于完整的零息票收益率曲线的定价方法。运用这种方法对我国市场上可赎回债券及其相应的普通债券进行定价，所获得的计算结果是具有可比性的。

五、总结与建议

在围绕我国可赎回债券定价问题讨论的过程中，本文主要做出了如下一些工作：

第一，本文从理论上揭示了我国可赎回债券的价格形态及其存在性（见文中的定理1证明），为我国可赎回债券定价奠定了理论基础。

第二，证明了可赎回债券价格蒙特卡罗模拟量具有无偏性和一致性(见文中的定理2―定理3证明)，并建立了可赎回债券价格的置信区间。从实证过程来看，虽然本文的计算结果是在运行5000条模拟路径的条件下获得的，但是，实际上只需要进行500次模拟即可达到较好的效果，从而肯定了本文提出的理论与计算方法是有实用价值的。

第三，可赎回债券是含有未定权益债券的一种特殊形式，这类债券实际上属于利率衍生产品，债券价格是随着利率变化而变化的。显而易见，在蒙特卡罗模拟过程中，利率模型选择恰当与否将会直接影响债券定价的精确性。因此本文根据中国利率市场的实际情况，利用具有与市场上可赎回债券期限相一致的普通国债收益率数据，作为定价模型中的利率序列，在经典的BK模型基础上，引进新的变量，重新构造出适合中国债券市场特点的利率模型（15），确立了基于同期限收益率曲线的我国可赎回债券的定价方法，克服了构造完整收益率曲线的困难，从而解决了我国可赎回债券定价的问题。

第四，本文拟定了可赎回债券价格的蒙特卡罗模拟程序，给出了中国市场上35只可赎回债券的赎回权价值、理论价格及其价格的95%置信区间（见表2）。由表2可见，可赎回债券价格的95%置信区间的上、下限非常接近。这是因为可赎回债券价格的样本标准差收敛，且样本容量足够大（M=5000），所以由式（16）可见，置信区间的上、下限趋向于一个数值，即它的价格。这些计算的结果能为市场交易者提供投资依据。

第五，计算出市场上25只可赎回债券与其相应的普通债券之间的价差（见表2）。这些价差从数量上揭示出市场上供应方操纵可赎回债券价格的程度，而不再是以往的那种定性描述程度。

同时，本文的实证数据也折射出中国债券市场上存在的一些问题。为了将来进一步完善我国债券市场，下面笔者以此来谈一些看法。

第一，对投资者来说，投资上述的可赎回债券大多不是有利的。由表2可见，在25只可赎回债券中，除08包商次级债、08杭州银行债、08江苏银行01、08江苏银行02及05中行02固外，其余20只相应的普通债券与其价差均为正值；其中10只相应的普通债券与其价差数值均超过13.95元，6只价差数值超过21.94元。在这种情况下，投资者如何保护自己，应该学会债券的科学定价方法，积极参与债券发行的一级市场，投入到债券发行价格的博弈之中。

第二，从发行的固定利率债券的条款来看，在将来不执行赎回权利时，发行者没有根据信用的级别、发行的时期等具体的情况，大多都采取在原利率的基础上加上3个百分点，以此作为债券的以后利率。这种统一简单照搬的做法，充分说明发行者比较盲目地给予债券定价，这样势必造成他们发行可赎回债券会过度地保护自己。表2中较高的赎回权价值充分说明了这一点，35只可赎回债券中，仅07金隅债的赎回权价值低于数值10，其余的34只的赎回权价值均在10以上，且赎回权价值接近20及20以上的可赎回债券就多达19只，占总数的54%。较高的赎回权价值反映发行者在发行时拥有一份深度的价内期权，到时行权的可能性就较大，对发行者可能更加有利。

第三，笔者建议，债券市场上有关管理者应该掌握科学的定价方法，在债券的发行过程中，能提出一些较为切实可行的建议，并有机地将有关的投资者与发行者结合在一起，让大家参与，共同做好发行债券的定价工作，为完善中国债券市场发挥各方的才能与作用。

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