二次函数的深入研究

摘 要：二次函数是高考数学的重头戏. 本文从函数概念出发，对二次函数的单调性、最值与图象做了研究，并通过这些研究，说明其可以准确反映学生的数学思维.

关键词：二次函数；研究

在历年高考试题中函数的知识点和函数思想都占有相当重要的地位，而其中的二次函数犹如一根红线贯穿其中. 在初中教材中，对二次函数作了详细的研究，由于初中学生理解能力较差，又受其接受能力的限制，对这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解. 进入高中以后，对二次函数的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、对称性、有界性）的理解提出了更高的要求. 作为最基本的幂函数，可以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编出灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力，使其成为高考数学的必考内容.

进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生对函数的一些理解，特别是以二次函数为例更深层次地认识函数. 二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）. 这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型Ⅰ：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1）. 这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.这个问题理解为，已知在对应法则f下，元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则. 一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成x+1的多项式，f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2-6x+6；（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都适用，令t=x+1，则x=t-1，所以f（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6，从而f（x）=x2-6x+6.

二次函数的单调性、最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间-∞，-及-，+∞上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习函数单调性.

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性.

（1）y=x2+2x-1-1；（2）y=x2-1；（3）=x2+2x-1.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象，通过图象去研究函数的单调性.

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上要么只有最小值，要么只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习. 如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域.

二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅳ：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0

解题思路：本题要证明的是x

（1）先证明x

因为00.

至此，证得x

根据韦达定理，有x1x2=. 因为0

（2）因为f（x）=ax2+bx+c=ax++c-（a>0）.

函数f（x）的图象的对称轴为直线x= -，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-. 因为x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-. 因为x2-

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入.？摇