点化学生思维 提升教学核心素养

核心素养导向的数学教学，要求教师围绕数学学科核心概念展开教学，为学生提供研究应用数学思想方法的机会，这对于一线数学教师而言，无形中增加了不少压力。如何将这种压力转化为动力呢？笔者认为，数学教学的目的是提高学生的数学思维能力，借助原始问题培养学生解决问题的能力，从而培养学生的数学核心素养。换句话说，数学思维与数学核心素养是一个整体，在教学中培养学生的数学学科核心素养，教师需要通过设计有梯度的问题引导学生思考、呈现有形素材发散学生的思维、有序开展教学活动等路径落实多维目标，提高学生的数学能力，培养学生的数学核心素养。下面，笔者结合教学实例，谈谈提高学生数学思维能力与内化数学核心素养的实践与思考。

一、设计有梯度的问题，帮助学生搭建思维的“脚手架”

在数学教学过程中，教师要以内在逻辑为主线、有梯度的数学问题作为驱动，使教学内容逐层呈现、环环相扣，为学生搭建思维的“脚手架”，有效帮助学生突破学习难点，促使学生不断挑战思维潜在的“发展区”，使思维走向深刻。

数学教学只有遵循学生的认知规律，才能有效地引领学生的思维走向深刻，而这需要教师设计有梯度的问题驱动学生思考。以教学人教版五年级数学下册“分数的意义”这一内容为例，教师在设计有梯度的问题时可以这样做。

第一，铺设的问题要有梯度、环环相扣，揭示问题要层层推进、有深度。平铺直叙的教学不利于学生的数学思维走向纵深。在数学教学中，教师要为学生的思维活动找到最佳的“载体”，而有梯度的问题能够将学生的思维推向深处。例如，在回顾旧知时，需要唤醒学生认识一个物体或一个平面图形的[14]的学习经验，教师可以这样设计题：

（1）辨析下面哪些图中的阴影部分表示全部的[14]，哪些不是，请说明理由（见图1）。

（2）在认识多个物体或一个平面图形的[14]时，呈现9个小圆（见图2）的活动材料及相关问题：①4幅图在圈法方面有什么共同点？看得出[14]的含义吗？请说明这里的[14]是怎么来的？②涂色部分是4个小圆的[14]，空白部分是4个小圆的（ ）。所以，[14]+[34]=1.③这个“1”指的是1个小圆吗？如果不是，它指的是什么？学生在面对有梯度的问题时，通过分析典型材料，体会分数意义中“单位1”的含义，这是一个加强与深化的过程。教师将新旧知识进行对比、抽象，内化单位“1”的含义，这是一个从量变到质变的过程。

第二，问题的跟进与提升要有高度。在数学学习活动中，学生会经历抽象与概括的过程，这其实就是“数学化”的过程，也是思维不断提升的过程。教学时，教师可以通过观察图形（见图3），利用类比的方法，使学生加深对“分数的意义”这一概念本质的理解。比如，要求学生将4个小圆的[14]和8个小圆的[14]进行比较分析，学生便会产生疑问：为什么二者都表示全部的[14]，而前者的[14]对应的是1个小圆，后者的[14]对应的是2个小圆？这时，教师再把之前一个物体或一个平面图形的[14]与当前多个物体或一个平面图形的[14]进行对比（如图4），让学生在对比中抽象出“分数的意义”这一本质，从而提高数学思维能力。

二、有形素材，点化学生的思维

在数学学习活动中点化学生潜在的思维，关键是要选择合适的有形学习材料。换言之，学生的无形数学思维（意识形态）需要有形的学习材料（视觉感观）作为载体，并在有形刺激与无形顿悟中完成数学学习活动。下面，笔者以教学人教版六年级数学上册“平方数的相差关系”为例进行说明。

第一，教师要提供可“观察”的信息，这是因为，学生内隐性的数学思维活动需要有形的数学信息作为支撑。教学时，教师依次在黑板上板书几组具有相差关系的平方数，如52-32、72-42、652-352，同时利用问题驱动学生自主探索平方数的相差关系（如图5）：（1）选择一两个算式，在对应的格子图中表示出两个平方数相差的关系，并用阴影涂出这两个平方数相差的部分；（2）根据“等积变形”规律，通过割、移、补等方法把两个平方数相差部分转化为规则图形（用示意图表示出来），并用一个算式表示它的大小；（3）和同桌说一说计算的过程。学生围绕问题自主探索，借助格子图（形）直观呈现平方数相差部分，并用式（数）表示相差部分的大小，将数与形结合起来（如图5）。这一学习过程是学生展示与交流的过程，也是从材料中获取信息的过程，更是提升数学思维能力的过程。在汇报交流中，学生不但展示了计算的过程，而且能够用数学语言表达探索的过程，有效地进行了深度学习，提升了思维品质。

第二，创设可“比较”的材料。提高学生的思维水平需要有效的信息素材作为载体，教师呈现学生自主探索的结果（如图6），能够为学生提供丰富的信息，让学生能够再次获取直观的感知以及相对充足的可视信息，为抽象、概括出平方数的相差关系的内在规律提供可靠的支撑，也为学生隐性的思维活动走向深刻提供了学习素材。

第三，完善可“概括”的条件。有效概括需要建立在充分的数学活动基础之上，教学中教师为了让学生进行有效概括，可以将学生掌握平方数的相差关系的规律这个过程分为4步：①呈现成果，为学生提供丰富的感观信息；②引导观察，自主发现平方数相差关系的一般性规律；③一一对应，数形结合；④顺势概括，得出平方数相差关系的一般性规律。学生数学思维的形成和提升不是一蹴而就的，教师需要在数学活动中慢慢渗透，引导学生在几组不同的学习活动材料中寻求相同之处（即异中求同），这是提升思维品质与数学核心素养的有效途径。

第四，把握可“抽象”的时机。抽象是数学学习活动的最高阶段，其过程也正是学生活动经验积累的过程。教学中，教师在“顺势抽象”一般性规律之前，可以先让学生经历信息感知、自主观察、对应求联这3个过程，然后让学生抽象出平方数相差关系的一般性规律，即平方差公式（如图7）。在这个过程中，学生的思维经历了从特殊到一般的过程，也经v了一次完整的数学归纳过程，能够有效地促使思维走向深刻。

三、有序展开，内化数学核心素养

培养学生的数学核心素养是一个漫长的过程，在这个过程中，教师需要引领学生经历思维的发散与聚合，让学生对数学知识的掌握有个顿悟于心、后发于行的过程。下面，笔者结合人教版四年级数学“平面图形的面积关系”的教学，说一说如何有序地开展数学活动，培养学生的数学核心素养。

第一，从具体到抽象需要“中间地带”的过渡。培养学生的数学核心素养，关键在于教师在引领学生从具体到抽象的数学学习过程中，如何处理教学“中间地带”（即“教学核心环节”）。假如教师直接告知学生，将“三角形看作是上底为0的梯形，将平行四边形看作是上底和下底相等的梯形”，那么学生也能够理解梯形面积公式适应于三角形、平行四边形与长方形的面积计算公式，但是，这样的学习过程不利于提高学生的数学能力。因此，当学生画出4种常见的梯形时（见图8），教师要引导学生明确，数据采集可以从整数向小数延伸，发散学生的思维，彰显课堂教学动态推进过程中的变与不变、有限与无限的关系。此外，教师展示了上底和下底长度均为小数的几组梯形图形（见图9），让学生真正理解“数缺形少直观，形缺数难入微”的数形结合的数学思想。比如，越往右，梯形上底的长度就越短，如果把梯形的上底和下底分别标上字母AB、CD，上底长度越短，即A点与B点越接近，AB点之间的距离就越小。如果AB点的距离为0时，那么梯形就变成了三角形，这时三角形的面积可以这么计算：（0+10）×4÷2，而梯形的面积公式也适用于三角形的计算面积，所以S三角形=（b+a）×h÷2（b=0）。以上两个教学环节就是让学生顺利地完成从具体到抽象过渡的“中间地带”，教学时教师巧妙处理这样的“中间地带”，有利于提高学生的数学能力。

第二，从感性材料到理性思考需要“多维信息”作为支撑。从感性到理性是数学学习的必经过程，这个过程处理得好，对于提升学生的思维水平与数学核心素养具有重要的作用。数学学习从感性到理性需要“多维信息”的支撑，教学中教师可以选取一些标注了数据的梯形直观图，引导学生从数形结合的角度进行观察，并对长方形、平行四边形、三角形与梯形的面积计算公式进行有效沟通并提供直观的素材（感性材料），通过问题驱动引导学生进行静态观察与动态思考（理性判断），明确梯形面积公式适用于三角形、平行四边形与长方形的面积计算公式，这样的教学可以帮助学生积累感性材料，助推学生顿悟，是培养学生数学核心素养的有效路径。

第三，从特殊到一般需要“夯实过程”来保障。从特殊到一般的数学推理过程是一种十分重要的数学能力，那么，教学中如何扎实有效地落实这一目标呢？在这节课中，教师最后让学生理解梯形面积公式可以统领三角形、长方形、平行四边形的面积计算公式，使学生经历了“绘画梯形―展示作品―发散思考―师生交流―观察感知―理性顿悟―沟通发现”的“数学化”过程，最后归纳总结得出一般性规律（如图10）。学生经常经历从特殊到一般的学习过程，将会逐步提高自己的数学能力，如类比、抽象、概括等能力，并在解题过程中提升数学核心素养。

（张翼文，特级教师，在全国、省、市级教学活动中上观摩课、作报告200余次，在全国公开刊物上80余篇，出版个人专著《智慧型教师的思与行》《小学数学典型教学内容的解读与实践》。）

（责编 欧孔群）