三角形重心的推导及其应用

在新课标人教版八年级数学下册的四边形这一章节中提出了重心这一概念，但是并没有作出具体的阐述，为了让学生深入的了解重心的特征，适应教学的需要，我根据学生现有的知识面，对三角形的重心特征进行了适当的归纳，并进行了合理的运用，目的是希望学生能通过这一过程的学习从而能很好的掌握重心的特性，并能灵活运用。

概念：三角形的重心就是它的三条中线的交点。

性质1：三角形的重心到三角形的一个顶点及其对边的距离之比是2：1。

证明：已知 ABC中，CE、BD是AB、AC上的中线，BD与CE相交于O，BO与DO的长之间有何关系？

解析：作BO中点M，CO中点N，连结ED、EM、DN、MNED为ABC中位线，ED= BC且ED∥BC，又MN为OBC中位线，MN= BC且MN∥BC，ED与MN平行且相等，EMND为，MD与EN互相平分，OM=OD，OD：OB=1：2。

性质运用

例1 已知，如图，AD为ABC中线，E为AD中点，F为BE延长线与AC的交点，求AF：FC的值。

解析：过C作CG∥AD交BA延长线于G，D为BC中点，AD为BGC中位线，A为BG中点，延长BF交GC于H，E为AD中点，H为CG中点，CA与BH交点F为BGC的重心，

AF：FC=1：2。

例2 如图在ABC中，∠BAC=90O，M为AC中点，AGBM，且BG=2GM，① 求证：BC=3AG。② 若AB=√6，求BM的长。

解析：① M为AC中点且BG=2GM，点G为ABC的重心，延长AG交BC于H，点G为重心，AG=2GH且H为BC的中点，设GH=x，则AG=2x，AH=3x， ABC为直角三角形，AH=12BC ， BC=6x，BC=3AG。

性质2：三角形三条中线所分得的6个小三角形的面积相等，且每个小三角形的面积都为大三角形面积的 16。

证明 如图，在ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，求证：S1= S2= S3= S4= S5= S6

解析：F为AB的中点，S1= S2

D为BC的中点， S3= S4

E为AC的中点， S5= S6

又DF为ABC的中位线， DF∥ AC，SAFD=SCFD S1= S4

S1= S2= S3= S4，又AO：OD=2：1SAOC：SDOC=2：1

即2S6：S4=2：1 S6= S4S1= S2= S3= S4= S5= S6

例3 如图，点E、F为正方形ABCD的两边AB、BC的中点，AF、CE相交于G点，若正方形ABCD的面积等于1，求四边形AGCD的面积。

解析：连结AC，E为AB中点，F为BC中点， G为ABC的重心， SAGC=13SABC，又S正方形ABCD=1， SABC= SADC= 12， SAGC=13×12 =16 ，SAGCD= SADC+ SAGC= 12+ 16 = 23.

例4 四边形ABCD中，E为BC中点，AE与BD相交于F，若BF=DF，AF=2EF，求SABD：SABC：SACD=_________。