分类讨论思想在三角形中的应用

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 在初中数学中，有关涉及到分类讨论思想的问题很多，题目也比较繁杂.这类问题有没有一种共性？解此类题目有没有一种切实可行的方法？

从初一到初三涉及到三角形的问题很多，我把它分为五大类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类。五是运动中三角形的分类.

一、 三角形的形状不定需要分类讨论

例1 在ABC中，∠B=25°，AD是BC上的高，并且AD2=BD·DC，则∠BCA的度数为 .

解析 因未指明三角形的形状，故需分类讨论.

如图1，当ABC的高在形内AD2=BD·DC，得 ABD～CAD，进而可以证明ABC为直角三角形.

由∠B=25°.可知∠BAD=65°.所以∠BCA=∠BAD=65°.

如图2，当高AD在形外时，此时ABC为钝角三角形.

由AD2=BD·DC，得ABD～CAD

所以∠B=∠CAD=25°，∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°+90°=115°

二、 等腰三角形的分类讨论

a、 在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论.

例2 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于 .

【练习】 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.

简析： 已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得x+x=9，x+y=12，或x+x=12，x+y=9.解得x=6，y=9，或x=8，y=5.即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm.

b、 在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论.

例3 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）

A. 30° B. 75°

C. 105° D. 30°或75°

【练习】 1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数.

简析： 依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为45°，图2中顶角为135°.

2. 在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B= .

三、 直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论

例4 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为 .

解析 由x2-4+=0，可得x2-4=0且y-5y+6=0

分别解这两个方程，可得满足条件的解

x=2y=2，或x=2y=3

由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论.

当两直角边长分别为2，2时，斜边长为=2；

当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为；

当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为.

综上，第三边的长为2或或。

四、 相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类

例5 如图所示，在ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则 的长为（ ）

A. 3 B. 3或

C. 3或 D.

解析 由于以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形有一个公共角（∠A ），因此依据相似三角形的判定方法，过点 的直线 应有两种作法：一是过点 作PQ ∥BC ，这样根据相似三角形的性质可得=，即=，解得AQ=3；二是过点P作∠APQ=∠ABC，交边AB于点Q，这时∠APQ：∠ABC，于是有 =，即，解得AQ=. 所以AQ的长为3或 ，故应选B.

五、 运动中三角形的分类

例6 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，DC=5，AB=4 ，∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.

（1） 求BC的长.

（2） 当MN∥AB时，求t的值.

（3） 试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形.

解析 （3）分三种情况讨论：

① 当NC=MC时，如图③，即t=10-2t， t=10/3.

② 当MN=NC时，如图④，过N作NEMC于E.

∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，NEC～DHC. NC：DC=EC∶HC，

即 t/5=5-t/3.t= 25/8.

③ 当MN=MC时，如图⑤，过M作MFCN于F点.FC= 12NC= 12t.

∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，MFC～DHC. FC∶HC=MC∶DC，

即 12t/3=10-2t/5， t=60/17.

综上所述，当t= 10/3、t= 25/8或t= 60/17时，MNC为等腰三角形.

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。教师在制订教学目的、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现。根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐近、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。自觉地重视和加强分类讨论思想的教学，也是实施素质教育的具体表现，数学中的分类讨论教学与素质教育中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的。在教学中，我们要多研究、多实践、多探索，让学生更好的掌握好初中数学中的分类讨论思想。