轴对称专题探究

一、基础知识梳理

在学习《轴对称》这一章时，我们应熟练掌握有关内容的主要性质：

1. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

2. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

3. 等腰三角形是轴对称图形.

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（也称“三线合一”），它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等．

4. 两个图形关于某条直线成轴对称，则对应点所连成的线段被对称轴垂直平分，并且它们的对应线段相等，对应角也相等．

二、考点分析

1. 利用定义解题

例1（2006年北京）羊年话羊，“羊”字象征着美好和吉祥，下列图案都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是（）.

A．1B．2C．3D．4

分析： 沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形有第一个图和第三个图.

解： 答案应是B.

说明：判断一个图形是否是轴对称图形，关键是看其是否符合定义．

例2 （2007年四川泸州）下列各图形中不是轴对称图形的是（）.

分析：沿着一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合的图形只有C图．

解： 应选C．

说明：要注意轴对称图形的对称轴有时不只一条．

2. 利用轴对称性质解题

例3 （2007年河南）如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB＝CD，有下面的结论：①AB∥CD ②ACBD ③AO＝OC ④ABBC，其中正确的结论有_______．

分析： 由l是四边形ABCD的对称轴可得到AB＝AD、BC＝DC；又因为AB＝CD，所以AB＝AD＝DC＝CB，可推出四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质可得出：AB∥CD；ACBD；AO＝OC．

解：①②③.

说明：解此类题的关键是要记住轴对称图形的性质．

例4 （2007年广西南宁）把下图（实线部分）补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的蝴蝶图案.（不用写作法，保留作图痕迹即可）

说明: 作轴对称图形，一般是先找到对称点，然后连接对称点，即可得到对称图形.

3. 利用拼图解题

例5 （2007年福建福州）两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形，图中已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别构成不同的轴对称图形．（所画三角形可与原三角形有重叠部分）

分析：只要清楚轴对称图形的概念，弄清题意，本题还是很容易完成的，现举几例如下：

解：

三、解题方法技巧

方法1：转化法

例1 如图所示，已知等腰三角形ABC中，AB边的垂直平分线交AC于D，AB＝AC＝8，BC＝6，求BDC的周长．

解： DE是AB的垂直平分线，

AD＝BD.

BCD的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC.

AC＝8，BC＝6，

BCD的周长为：8＋6＝14．

说明：本题的思路主要是通过线段的转化，把三角形周长转化为已知线段的和.这种转化的思想在中学数学中是行之有效的，故而应用也非常广泛．

例2 如图所示，在公路a同侧有两个居民小区A、B，现需要在公路旁建一个液化气站，要求到A、B的距离之和最短，则这个液化气站应建在哪一个地方？

解：已知直线a和a的同侧两点A、B，如图所示，求作点C，使C在直线a上，并且使AC＋BC最小．

作法：1.作A点关于直线a的对称点A′.

2. 连结A′B交直线a于点C，则C就是所求作的点．

说明：本题通过作点A关于直线a的对称点A′，把AC＋BC的和最短问题转化为A′、B两点之间线段最短的问题．

方法2：分类讨论法

例3 如图所示，在四个正方形拼接的图形中，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成________个等腰直角三角形，你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？请在下面简要写出你的探究过程．

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解：24个. 以A1、A2、A3、A10、A9为直角顶点的等腰直角三角形分别有1个、1个、4个、5个、1个，共12个. 再根据轴对称性质可知：在整个图形内共可组成12×2＝24个等腰直角三角形．

方法3：数形结合法

例4如图所示，在正方形中均匀地分布着一些数字，小明利用轴对称的思想，用了一种非常巧妙的方法，迅速地将这组数字的和求了出来，你也能试试吗？

解： 从数字组中可以看出，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线当作对称轴，则正方形中的数之和为5×5＋10×10＝125．

方法4：构建数学模型法

例5 一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上人眼O的位置. 如图所示，有三个物体A、B、C放在镜子前面，人眼能从镜子里看见哪个物体？

分析： 物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体关于镜面的对称点必须在眼的视线范围内．

解：分别作A、B、C三点关于直线MN的对称点A′、B′、C′.由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B两物体．

说明：这道题是轴对称在实际问题中的应用，关键是建立相应轴对称图形的数学模型，再利用轴对称知识来解决．

方法5：拼图

例6 如图所示，一批废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB＝AC，现要把这种废钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每块切割的次数最多两次，切割的损失忽略不计．

（1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并且用简要的文字加以说明．

（2）若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），则该三角形应满足什么条件？

解：（1）方案①、方案②如图所示：

方案②中虚线为切割线，M、N为AB、AC的中点，MPBC．

（2）若要把该三角形只切割一次，然后焊接成正方形零件，则该三角形应为等腰直角三角形．

说明：利用轴对称的性质来解决实际生活中一些最优化方案设计的问题是中考试题中的常见问题．

例7 如图所示两个“十”字形纸板，每一个都由五个正方形组成，试将其中一个切成大小和形状都相同的四块，与另一个“十”字形纸板拼合在一起，得到一个正方形．