后张预应力混凝土构件孔道摩擦损失的简化计算

摘要：利用泰勒公式对《混凝土结构设计规范》（GB 50010-2010） 及《预应力混凝土结构设计规程》（DGJ 08-69―2007）等规范中给出的后张法预应力混凝土构件孔道壁摩擦引起的预应力损失估算公式进行展开。给出了简化的多项式代替指数函数，并将其简化计算结果、规范计算结果和吴转琴的实测结果进行对比，发现本文给出的简化计算公式偏于安全且较规范公式与实测值更为接近，并指出简化公式对kx+μθ0.3情况仍适用。

关键词：后张法；摩擦损失；简化公式；泰勒展开式；规范公式

Simplified Calculated Formula of Duct Friction Loss for Post-tensioned Pre-stressed Reinforced Concrete Members

LI Zhe1*， YAO Fei2， LIN Mei-jun1， WANG Yu1

（1.School of Civil Engineering and Environment， Hunan University of Science and Engineering， Yongzhou 425100， China； 2.Dongcheng Investment and development Co.， Liuzhou545616， China； Corresponding author： LI Zhe， Email： ）

Abstract： The code formula of duct friction loss for post-tensioned pre-stressed reinforced concrete members was expanded with Taylor series. The exponential function in code was instead of polynomial function as well as the simplified calculated results， code results and tested results by WU had been compared. It can be seen that the simplified formulation proposed by this paper has the higher accuracy， is closer to the experimental results reported in reference and leaves predictions on the safe side. Moreover， the simplified formula is still valid when the value of kx+μθ is more than 0.3.

Key words： post-tensioned method； friction loss； simplified calculated formula； Taylor expansion； code formula

1 引言

预应力混凝土构件的设计原理是利用预先施加在混凝土上的压应力来抵消外荷载所产生的拉应力，进而提高构件的受力性能及变形性能。构件上的有效预加力大小等于张拉控制控制应力与总摩擦损失值之差。有效预加力大小的准确估算是构件设计乃至结构设计的关键环节，故准确估算预应力损失值至关重要。

预应力混凝土构件按照其施工工艺不同，可分为先张法预应力混凝土构件和后张法预应力混凝土构件。两种构件在预加应力阶段和使用阶段均会产生预应力损失，但预应力损失项目却并不完全相同。对于后张法预应力混凝土构件在预加应力阶段会产生由预应力钢筋和孔道壁之间摩擦引起的预应力损失σl1，此项损失在该阶段的预应力损失比重最大，故有必要对该项损失能够较精确的估算，以便在设计和施工进行参考。

本文从摩擦理论入手，对规范[1-4]中所给出的预应力损失计算公式进行简化，并与吴转琴[5]给出的实测的摩擦损失值进行比较，进而验证本文所给出的简化计算公式具有较高精度，且较规范[1-4]更为安全、适用。

2 规范公式

后张法预应力混凝土构件的预应力损失计算应该考虑如下项目：

表1：后张构件预应力损失组合[6]

阶段 预应力工艺 后张法

第Ⅰ阶段（传力锚固时） σⅠ=σl1+σl2+σl4

第Ⅱ阶段（传力锚固后） σⅡ=σl5+σl6

后张法预应力混凝土构件的预应力损失因素可归纳为两类：一是锚下张拉控制应力不足，包括预应力钢筋回缩与构件拼接缝压密损失σl2、混凝土的弹性收缩损失σl4、预应力钢筋应力松弛及锚具变形损失σl5和混凝土的徐变损失σl6等；二是预应力沿程损失也称摩擦损失。

锚下张拉控制应力不足引起的预应力损失计算公式可查阅规范[1]。

摩擦损失，是指预应力钢筋与周围接触的混凝土孔道或套管之间发生的应力损失。摩擦损失可分为长度效应和曲率效应两部分：

（1）长度效应，长度效应是由于直线预应力筋在施工过程中由于技术原因造成的孔道偏差所引起的。长度效应的大小取决于预应力筋的长度x、张拉控制应力σcon、预应力筋及管道间的摩擦系数k、管道的顺直度（施工质量）及预应力的施加方式（单向张拉/双向张拉）等。

（2）曲率效应，曲率效应是由曲线筋的曲率摩擦损失和孔道偏差两部分组成的。其影响因素取决于预应力筋的曲率θ、张拉控制应力σcon、预应力筋及周围管道的摩擦系数μ等。

2.1 摩阻的产生

预应力孔道的摩擦理论认为：预应力筋与孔道壁之间的摩擦由两部分组成：一是由孔道偏差引起的，其值大小与孔道长度x有关；二是由曲线孔道弯曲使预应力筋与孔道产生附加的径向应力产生的，其值大小与孔道弯曲角θ有关。

2.2 预应力体系摩擦损失理论

如图1所示，在转角为θ处取微段ds，其中心位于一半径为R的圆弧上，则预应力筋长度ds范围对应的角度变化为dθ=ds/R，则由预加力P产生的径向应力分量N=Pdθ。

摩擦损失值dp可以用压力N乘以摩擦系数μ来表示：

dp=-μN=-μPdθ （1）

分离变量，并在0θ间积分，得到：

P2=P1e-μθ （2）

长度效应是指在沿预应力钢筋长度上有不均匀的转角波动引起的摩擦，由长度效应系数引起的kx来代替μθ，则公式可改写成：

P2=P1e-kx （3）

两部分叠加结果为：

P2=P1e-μθ-kx （4）

其中：k为考虑孔道每米长度局部偏差的摩擦系数；μ为预应力筋与孔道壁之间的摩擦系数。

图1 预应力筋的摩擦损失

3 简化公式

直线型孔道的接触效应很弱，主要取决于孔道的偏差程度，由孔道的施工制作的顺直度及以梁段自身作为台座对预应力筋张拉造成的孔道变形决定的。曲线形孔道的接触效应取决于孔道设计的弯曲程度及施工中张拉预应力筋造成的孔道偏差共同决定。

《混凝土结构设计规范》（GB 50010-2010）[1]、《预应力混凝土结构设计规程》（DGJ 08-69―2007）[2]和《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》（JTG D62―2004）[3]中给出的预应力钢筋和孔道摩擦引起的预应损失σl1的计算公式：

σl1=ΔP/Ap=（P1-P2）/Ap=σcon[1-e-μθ-kx]（5）

规范给出的计算公式过于复杂，在实际设计和施工过程中，需计算指数函数，易出错且不适用。其计算结果亦与施工中预应力张拉所测得的实际预应力损失相差较大，故本文将规范计算公式[1-4]进行简化，思路如下：

将规范公式中的指数函数利用泰勒公式进行展开，分别取展开式的前两项和和前四项和，并与规范公式[1-4]和参考文献[5]的实测值进行比较，结果如表2所示。

从表中可以看出：

（1）泰勒公式展开式，前两项和和前四项和相差不大；

（2）预应力钢筋与孔道之间摩擦引起的预应损失实测值kx+μθ不管是否大于0.3，均可用泰勒展开式前两项替代，较规范公式（5）简单、偏于安全且更接近实测值。

4 结论

本文对规范[1-4]中提出的后张预应力混凝土构件由预应力筋与孔道摩擦引起的预应力损失σl1的计算进行简化，得出如下结论：

（1）在设计及施工中，该项预应力损失计算公式简化为：σl1=kx+μθ。简化公式的即简便且偏于安全，与实测值更为接近；

（2）简化计算公式对kx+μθ大于0.3的情况仍适用。

参考文献

[1]吴转琴，曾昭波等.缓粘结预应力钢绞线摩擦系数试验研究[J].工业建筑，2008， 38（11）：20-23.

[2]李国平，预应力混凝土结构设计原理[M].北京：人民交通出版社， 2009（08）：78.

作者简介

李 矗1986-），男，黑龙江哈尔滨人，博士生，助教，工程师，一级建造师，从事钢-混凝土组合结构、预应力混凝土结构、高层建筑结构设计及研究（E-mail：）。

姚 飞（1989-），男，河南南阳人，硕士，从事钢-混凝土组合结构研究。

请排满2个整版面下面还有个表格别删减

表2：规范公式、泰勒级数展开式计算结果与实测结果的比较

试验值[5] 计算值

序号 线型 转角θ/rad 长度x/m 张拉力损失

ΔF=F1-F2 预应力筋面积Ap/mm2 实测损失值σl1 摩擦系数 μθ kx 规范值[1-4]

σl1=σcon[1-

e-kx-μθ] 规范值/

实测值 泰勒级数前两项和Σ=-kx-μθ 展开式/实测值

μ k

1 直线 0 6 6.1 199 0.0307 ― 0.004 ― 0.024 0.0236 0.7818 0.024 0.7724

2 4.8 189 0.0254 0.9449 0.9335

3 2.8 201 0.0139 1.7266 1.7059

4 3.9 212 0.0184 1.3043 1.2887

5 4.2 194 0.0217 1.1060 1.0927

6 4.0 211 0.0190 1.2632 1.2480

7 6.0 201 0.0299 0.8027 0.7930

8 4.2 203 0.0207 1.1594 1.1455

9 4.0 199 0.0201 1.1940 1.1797

10 5.2 197 0.0264 0.9091 0.8982

11 3.0 200 0.0150 1.6000 1.5808

12 5.5 196 0.0281 0.8541 0.8438

1 曲线 π/6 3.666 10.2 210 0.0485 0.09 0.0471 0.0147 0.0595 1.2735 0.0618 1.2342

2 π/3 4.264 20.6 207 0.0995 0.0942 0.0171 0.1046 1.1182 0.1113 1.0560

3 π/2 4.712 27.8 208 0.1336 0.1413 0.0188 0.1471 1.1987 0.1601 1.1027

4 2π/3 4.392 26.8 205 0.1309 0.1884 0.0176 0.1850 1.5735 0.2060 1.4114

5 π 3.542 46.4 207 0.2246 0.2826 0.0142 0.2553 1.3213 0.2968 1.1253