浅析微分方程的数值解法

摘要：本文结合数例详细阐述了最基本的解决常微分方程初值问题的数值法，即Euler方法、改进Euler法，并进行了对比，总结了它们各自的优点和缺点，为我们深入探究微分方程的其他解法打下了坚实的基础。

关键词:常微分方程 数值解法 Euler方法 改进Euler法

1、Euler方法

由微分方程的相关概念可知，初值问题的解就是一条过点 的积分曲线 ，并且在该曲线上任一点 处的切线斜率等于函数 的值。

根据数值解法的基本思想，我们取等距节点 ，其中h为步长，在点 处，以 为斜率作直线 交直线 于点 。如果步长 比较小，那么所作直线 与曲线 的偏差不会太大，所以可用 的近似值，即： ，再从点 出发，以 为斜率作直线 ，作为 的近似值，即：

重复上述步骤，就能逐步求出准确解 在各节点 处的近似值。一般地，若 为 的近似值，则过点 以 为斜率的直线为：

从而 的近似值为：

此公式就是Euler公式。因为Euler方法的思想是用折线近似代替曲线，所以Euler方法又称Euler折线法。Euler方法是初值问题数值解中最简单的一种方法，由于它的精度不高，当步数增多时，由于误差的积累，用Euler方法作出的折线可能会越来越偏离曲线 。举例说明：

解： ,

精确解为：

1.2 -0.96 -1 0.04

1.4 -0.84 -0.933 0.933

1.6 -0.64 -0.8 0.16

1.8 -0.36 -0.6 0.24

2.0 0 -0.333 0.33

2.2 0.44 0 0.44

通过上表可以比较明显地看出误差随着计算在积累。

2、改进Euler法

方法构造

在常微分方程初值问题 ,对其从 到 进行定积分得:

用梯形公式将右端的定积分进行近似计算得：

用 和 来分别代替 和 得计算格式:

这就是改进的Euler法。

解：

解得：

由于 ,是线形函数可以从隐式格式中解出

问题的精确解是

误差

0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.02140

0.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.05183

0.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.09411

2.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973

通过比较上表的第四列与第五列就能非常明显看出改进Euler方法精度比Euler方法精度高。

3、结语

Euler方法是一种最简单的解决常微分方程初值问题的方法，相应的它的精度最低，在计算中如果步长h较大的话，误差将会比较大，所以使用时应注意控制步长h，并且随着步长的增多误差的不断积累，最后所得的结果误差也会较大，只有在控制步长、精度要求不高的情况下使用，主要适用于对 的估值上；虽然改进Euler法在取相同步长h时它的计算量是Euler方法的二倍，但它的精度比较高，能够满足一般要求，平时使用较多。

参考文献

[1]朱思铭,王寿松,李艳会.常微分方程（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]余德浩,汤华中.《微分方程数值解法》.科学出版社,北京:2002.

[3]李庆样等编.《数值分析》.高等教育出版社,2000.