只有使用“梁齐天极限定义”才能教好学好大学数学第一个概念“极限课”

传统性极限定义是个倒叙形式，历来难教、难学、难懂。另外，定义里涉及到的含有绝对值符号不等式，0

而今，针对上述情况，我把传统性极限定义进行重新设计，开门见山的突出解不等式|f（x）-A|

欢迎各大学教师用我这个定义在课堂上试验一下。

详细内容请看如下：

1.对于0

例1：求数x到点2之距离小于3但x≠2的数集。①用绝对值符号表示；②写出区间来；③画在数轴上。

例2：|x|>5，在数轴上画出这个数集来。

例3：x>4或x

例4：已知数列f（n）={}， n∈n+ ，求f（n）与数据3之距离小于的有几项？是哪几项？f（60）到数3之距离是否小于？

例5：已知数列f（n）={}，问数列f（n）与9之距离小于有几项，有哪些项；对于以上，要求学生熟练的掌握。

2.梁齐天数列极限的定义

2.1引入梁齐天数列极限的定义

（1）数列f（n）={3-} n∈N+ a1=2.9， a2=2.99， a3=2.999，a4=2.9999，a5=2.99999，a6=2.999999……，变化趋势是逐渐增大，无限制趋近于3，但不等于3，极大限制是3。

（2）数列f（n）={3+}，n∈N+ a1=3.1， a2=3.01， a3=3.001，a4=3.0001，a5=3.00001，a6=3.000001变化趋势是逐渐减小、无限制逼近于3，但就是不等于3，极小限制是3。

（3）数列f（n）={}，a1=2， a2=3.5， a3=2.67，

a4=3.33， a5=2.8， a6=3.17变化趋势为时而大于3，时而小于3，这时你就不能说它的极大（极小）限制是3了，但是它与前面两个数列有一个共同点是：就是f（n）也是越来越接近于3，并且无限制地趋近于数3的。

再接着看本题的答案：

我们可以再令L=、、……；代入到n>[]里去，就是n>，n>，n>……，分母的分数母子一颠倒，摇身一变便成了n>1000， n>10000， n>1000000，……了。

这就是说从第一千项起、第一万项起、第一百万项起……以后，所有一切的项都有|-3|

也就是说从第一千项起、第一万项起、第一百万项起……以后所有各项，所有的一切项都统统地有序地被逼近到直线y=3上、下身旁，但是就不能触碰落到直线Y=3上，

（因为若触碰并躺在直线y=3上，便有|-3|=0，||=0，=0，=0，1=0，这是

天大的矛盾，所以f（n）不能触落在直线y=3上）。数列f（n）之这些项被逼近在以直线y=3上、下旁，被逼近在一个以直线y=3为中轴线、向上、向下各延伸L个单位，总宽为2L，长度为足够长的长方形、条带形里，被覆盖、被关闭在宽度为2L，宽度无限制地变窄的条形长带里，f（n）被有序地，无限制地被逼近在直线y=3之上、下方，但又不能触碰到直线y=3，就这样被极其严格的限制着，这是一个非常奇怪而有趣的景象，取这话前面的那个“极”字，取这句话后面的那个“限”字，故名曰“极限”，因而数3就是数列f（n）之极限。

这上这种景象，若换成直线y=9，从前段的例5可知其没有这景象。

现在得出梁齐天数列极限定义如下：

已知数列f（n），n∈N+，又已知一个常数A，若对于对于任意小的正数L都能从f（n）与数A的距离|f（n）-A|小于L的不等式|f（n）-A|

f（n）的极限是A，就称数列f（n）收敛于A，若A不存在，则称f（n）发散，或称无极限。

（4）极限的特点：其一是f（n）无限制地接近，趋近于极限A；其二f（n）就是不等于极限A（除去常数列等）。

（5）“某正整数”

例如：|f（n）-A|

例题：求证：|lin |= n∈N+ ，

证明：令L为任意小正数，|f（n）-|

|-|

L是任意小的正数，所以是个大于2的正数，例如取L=，便有-2=10-2=8，所以是正数，n>[]，所以n>“某正整数”符合定义，lim= （n+∞ ）

（5）解题目的一个技巧：

前面在解到

2.2已知常数A，求证f（n）之极限是A，不外乎下面几个步骤：

第1：认定常数A是已知的；L是自己设的任意小的正数。

第2：写出不等式|f（n）-A|

第3：解这个不等式|f（n）-A|

第4：解出f（ n）定义域的子区间特定类型的解，“某正整数”

第5：|f（n）-A|若不存在解的例子，就是出现矛盾的式子，例如分母为0，偶次根号下是负数，项数n

还有一些f（n）明眼一看便知其无解，例如f（n）=sin，

当n0时，f（n）时而等于+1，时而等于-1，所以可以判定f（n）无极限。

3.当xX0时，梁齐天f（x）极限定义

我们用下面一个f（x）来讨论

Y= f（x）= ，x≠2，这个函数在x=2时，分

母为0，f（x）无意义，但在去掉x=2时的区域内都有意义，我们只研究在以x=2为中心，一个去掉x=2这点为空中心的邻近小区域内研究，这个以x=2为空中心的小区域叫做点x=2的一个去心邻域，即是以x=2为空中心的区间，那解出或存在什么类型的解呢？我们知道数列f（n），n∈N+ ，f（n）定义域是0

设函数在f（x）在点X0的某去心邻域内有定义，又已知常数A，对于任意给定的正数L（不论它多么小），都能从f（x）与A的距离的不等式

例题1、求证：lim=10（（x2）

证明：使用定义，令L是一任意小的正数，写出不等式如下：

中的那个f（x）定义域里以x0为空中心的一个子区间解，上述解的对应f（x）的值无限制地趋近于10，符合极限定义，

所以lim=10（x2）

例题2、证明lim ≠21，（x1）

证：令L为任意小的正数，

|-21|

集，即是全部之解，不再有其它之类的解了，更不存在f（x）的去心邻域里以x0=1为空中心的子集合做为解了，即是不存在0

限定义，它是不符合的，所以lim ≠21（x1）

例2、定义中的|f（x）-A|

从上面的例子可以看到，|f（x）-A|

国际上的教科书里，上面的L多用希腊字母“ε”表示。

4.当x∞时梁齐天f（x）之极限

例如：f（x）=（当x∞）；极限显然是0。

我们知道x+2=0，x=-2时f（x）无意义，为了方便起见，我们可以人为地把它的定义域修饰为一个关于原点0为对称的一个美丽的定义域，而不影响讨论当x∞时f（x）之极限。例如可令定义域为x>5或x5，其f（x）与数0之距离小于ε，|f（x）-0|5的一个真子集，即为|x|>“某正数”>5……因此得到定义如下：

设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义，又已知一个常数A，对于任意给定的正数ε（不论它怎么小），都能从f（x）与A之距离小于ε的不等式|f（x）-A|“某正数”之类型的解，那么常数A就叫做函数f（x）当x∞时的极限，记为lim f（x）=A或f（x）A（当x∞）。对于其他类型之极限皆可仿照上面讨论之。

5.附注说明：由上可知，使用梁齐天极限定义证明某数是f（x）之极限皆是很顺利的，就是在证明复杂的问题也是很得心应手的。例如在证明函数极限与数列极限的关系之有关定理时，即是：如果极限lim f（x）（xx0）存在，{xn}为函数f（x）的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足xn≠x0 （nN+），那么相应的函数值数列{f（xn）}必收敛，且lim f（xn），（ n+∞）= lim f（x），（xx0）。详见同济大学《高等数学》第六版上册P37。

证明：设lim f（x）=A，所以对于任意给定的正数ε>0，总能从不等式|f（x）-A|

又因lim xn=x0，（ n+∞），任意给定一个ε’>0，不妨就设ε’=δ。所以|xn-x0|

又因为{xn：0

{ yn： yn= f（xn） } { y： y= f（x） }……④

由于①②③④，所以|f（xn）-A|

笔者还有个不成熟的想法，就是到了以后适当的时候，是否可以把此定义上升为定理？因学生习惯用判定定理去解决问题，此事以后再说。

每段都可仿照例题编一些作业题，也可从同济大学数学系编《高等数学》第六版上册中选一些作业题。

收稿日期：2013-07-29