预应力梁(板)轴向变形受框架柱约束刚度影响引起的次内力计算

提要:在预应力框架结构设计中往往忽略了预应力梁(板)轴向变形受柱子约束所产生的次内力。本文提出了在不同设计阶段此项次内力的计算方法。工程实例计算表明，此项次内力不容忽视。

关键词:预应力，轴向变形，约束刚度，次内力

1. 问题的提出

超静定预应力结构设计计算中，需要考虑因施加预应力所产生的次内力的影响。通常的设计中，往往仅考虑了预应力筋引起梁(板)横向变形受到柱的约束而产生的次内力（包括次弯矩和次剪力）。预应力梁（板）在预应力持续作用下，还将产生轴向变形，包括砼的弹性缩短和收缩徐变。当这些变形值不大，或支承在柔性构件上，轴向变形的影响可以忽略。但在多高层建筑，尤其是高层建筑中，底层柱的截面甚大，其抗侧移刚度也很大，对预应力梁（板）的轴向变形有很强的约束作用。特别是在预应力梁（板）跨度较大，跨数较多，总的变形值较大，而又不便留后浇带或将梁（板）柱接头设计成允许移动的情况下，梁（板）的轴向变形会在柱中引起较高的次弯矩和次剪力，而梁（板）中的预应力也会减小，从而影响到结构的承载力和梁（板）的抗裂度。

现有文献[1][2]中均采用构造措施来减小约束影响，文献[3]中给出了非常近似的估计方法。分析计算预应力梁（板）轴向变形受柱约束产生的次内力，关键要合理提供以下两个方面的计算方法：

(1) 砼的收缩徐变是预应力梁（板）轴向变形的主要部分，而砼收缩徐变受到诸多复杂因素的影响。当然可以运用各种徐变理论，引入时间参数t来估算变形值，亦可采用数值分析方法，但如何提供一个与我国规范相通，方便实用的计算方法？

(2) 偏压柱端的次内力值大小与偏压柱的刚度是互为影响的，如何确定相应次内力下的刚度值？

本文侧重对以上两方面的计算加以探讨，并提出可供工程应用的计算方法，最后以工程实例作了计算分析。

2. 梁（板）轴向变形值的计算

2.1. 变形不动点的确定

在图1中，假定框架左端为计算原点，L为左端至变形不动点的距离， 、 … 为各节点处

图1

柱（下层或上下两层）的抗侧移刚度，变形不动点位于各柱刚度分布的重心，于是变形不动点位置按下式确定：

(1)

对于一端张拉的梁（板），若固定端为不动刚性结构如内筒、剪力墙等，其 >> 、 … ，由（1）式可得L=0，即固定端为变形不动点。对于对称结构，不动点为对称结构的中心，梁（板）由两端以结构中心为不动点对称缩短。

2.2. 轴向自由变形值的计算

（1）构件弹性变形值

构件的单位变形值为（对于后张构件）：

(2)

式中， ¬――分跨计算的构件单位变形值；

――后张构件的净截面面积；

――分跨计算的预应力总损失的平均值，通常可近似取各跨跨中截面处的损失值。

分跨计算单位变形后，各柱端弹性侧移值为：

=(3)

式中， ――变形不动点一侧第 跨的单位变形值；

――变形不动点一侧第 跨梁（板）长度。

（2）砼收缩徐变产生的轴向变形

砼的收缩和徐变是两种性质不同的变形，但两者都是随时间而发展的长期变形。它们的影响因素较多，用各种收缩和徐变的理论来计算十分复杂。《混凝土结构设计规范》（GB50010―2002）在计算预应力收缩徐变损失 时，考虑了配筋率、初应力、砼的龄期调整模量等因素，并通过试验校正，公式如下：

(4)

公式符号说明见《规范》。

由受拉区和受于压区预应力筋的损失 、 可反算出相应部位砼收缩徐变的应变值：

(5)

为预应力筋的弹性模量。

已知 、 可按下式换算出截面形心轴处的变形：

(6)

式中， ――净截面形心轴高度。

注意到《规范》中 计算考虑了120天的荷载延续时间，此时收缩和徐变与最终值的比值为0.5 ，因此砼收缩徐变值取为：

(7)

由于沿构件长度各截面 均不相同，可以近似取用各跨跨中的 代表该跨 的平均值。于是各柱端收缩徐变的侧移值为：

(8)

综上，各柱端处梁（板）轴向自由变形值为：

(9)

3. 约束次内力的计算模型

对于多高层建筑，各层梁（板）施加预应力后，层间相对的轴向变形一般不大，仅需考虑首层框架中约束次内力的影响 。梁（板）由于受到柱的约束，其轴向变形不会象自由变形那么大，实际的轴向变形（亦即相应柱的侧移）是自由变形值和约束变形值的代数和。假设变形不动点一侧仅为一根柱时（图2），有：

(10)

其中， ――柱子实际侧移值；

――自由变形值；

――次剪力下（对梁板为拉力）梁（板）的拉伸值。

图2

因：(11)

(12)

则：(13)

(14)

式中， ――砼受拉（退压）时取用的弹性模量；

――梁（板）换算截面面积；

――柱抗侧移刚度， ， 是与梁（板）柱线刚度比有关的系数。

求得约束次剪力 后，可由式(11)求出柱侧移值 ，底层柱反弯点近似取在0.6H处，则柱端约束次弯矩可由下式求出：

(15a)

(15b)

由(11)～(15)式可见，求解约束次内力 和 ，关键在于确定在承载力计算阶段和正常使用阶段柱的抗侧移刚度D及其相应的截面刚度B。

当变形不动点一侧柱多于一个时，各柱处计算方法类似，对于各跨梁（板）所受拉力（次剪力） 和侧移值 需根据实际结构进行累加。

4. 承载力计算阶段柱刚度及次内力的计算

当柱达到极限承载力时，由(15b)式得：

于是：

(16)

式中， ――柱侧移的极限值；

――承载力极限状态柱截面曲率。

对于偏心受压柱的曲率 可采用《规范》中附加偏心矩推导过程中的公式计算，即：

(17)

式中， ――大小偏心界限情况下截面曲率，对于II级钢配筋构件，并考虑压区砼徐变影响后，

；

， 见《规范》。

柱实际侧移值应满足 。承载力极限状态下，柱实际侧移值 取为柱侧移的极限值 ,若梁（板）自由变形值 ，可不考虑梁（板）轴向变形对柱极限承载力的影响；当 时，将 代入式(10)解得：

(18)

相应的柱抗侧移刚度为：

(19)

次弯矩可由式(15)求出。

5. 使用阶段次内力及其对梁（板）抗裂性的影响

梁（板）轴向变形受到柱的约束，相当于将柱顶约束次剪力作为一个拉力作用到预应力梁（板）上，使梁（板）的轴向变形受阻，从而引起砼的预应力下降，直接影响到预应力梁（板）的抗裂性能。

非预应力柱为三级抗裂的偏压构件，其开裂刚度可参考使用阶段允许开裂的预应力梁（亦可视为压弯构件），引入刚度折减系数 ，即 。 根据开裂情况介于0.85～0.65，对于高层建筑，底层柱多为小偏心，开裂很小，取高值；对于多层建筑，若底层柱有一定开裂，则取低值。

预应力梁（板）发生长期变形的同时，柱亦因砼的徐变，截面刚度有所降低。砼龄期调整有效模量为 ：

(20)

式中， ――砼龄期调整有效模量；

――砼 龄期调整有效模量；

， 为28天期龄的弹性模量；

――初始加载期龄，可取砼浇筑后，养护至拆除模板支撑的时间；

――老化系数，当 天， 介于1.5～3.0之间，最终 ；

――徐变系数。当 介于7～60天之间时，徐变系数最终值 可按下表 选取：

环境相对湿度为75% 环境相对湿度为55%

于是柱截面刚度为：

(21)

柱的抗侧移刚度为：

(22)

将 、 代入前述(11)～(15)式便可求出正常使用阶段的柱实际侧移值 及次剪力V和次弯矩M。当变形不动点一侧柱多于一个时，亦需对次剪力V按实际结构进行累加。

在次剪力作用下，预应力梁（板）预压力降低值为：

(23)

式中， ――预应力梁（板）换算截面面积；

――计算跨梁（板）外侧各柱次剪力总和。

6. 算例分析

图3

某16层轻工厂房，采用无粘结预应力扁梁―平板楼盖体系。柱网7.2 7.2m，底层柱按轴压比要求确定为800 800mm，底层扁梁b h=1500 400mm，扁梁间内平板厚200mm，扁梁内配8根 无粘结钢铰线，非预应力筋按构造配置(拉区12Φ14，压区7Φ14)。内平板为非预应力砼板，砼等级C40。四跨扁梁由于对称，取变形不动点一侧两跨进行分析，如图3。边柱 ，中柱 。

6.1. 扁梁轴向自由变形值计算

已计算得各跨跨中截面砼收缩徐变引起的预应力损失为： N/mm (边跨）， N/mm (中跨）；扣除全部预应力损失后的砼平均预应力值为： =0.645N/mm （边跨）， N/mm （中跨）。

砼弹性压缩变形值为：

中柱处： mm；

边柱处： mm。

砼收缩徐变值为：

中柱处： mm；

边柱处： mm。

总轴向自由变形值为：

中柱处： =2.8004mm；

边柱处： =5.4154mm。

6.2. 承载力阶段次内力

柱轴力由轴压比取值 ，则：

=0.555

mm

中柱： =15.776mm；

边柱： =17.575mm。

扁梁轴向自由变形 ，可不考虑扁梁轴向变形对柱承载力的影响。

6.3. 使用阶段次内力的影响

（1）柱刚度计算

底层柱为小偏心受压，开裂程度较小，可取较高的 =0.8。砼达到100%强度后拆模， N/mm ，体表比 = =200，徐变系数取 ，砼龄期调整有效模量由式（19）计算：

N/mm；

N-mm ；

中柱： N/mm；

边柱： N/mm；

（2）柱侧移值 及次内力V、M计算

(23)

代入方程组(23)解得： N=153.59KN，N=267.78KN

柱侧移值为： mm， mm；

中柱次弯矩： =181.23KN-m；

=271.85KN-m；

边柱次弯矩： =315.98KN-m；

=473.97KN-m；

次剪力将使预应力扁梁的压应力降低，降低的值为：

中跨： N/mm

边跨： N/mm

考虑次内力影响后，扁梁中跨预压力下降了50%，边跨预压力下降了35%。

7. 结束语

从以上算例可看出，使用阶段预应力梁（板）轴向变形（其中大部分是收缩徐变）受到刚性很大的柱的约束，将产生较大的次内力，并使梁（板）的预压力值下降。最大的约束次内力（次剪力、次弯矩）出现在边柱中，而内跨梁（板）预应力值下降最多，这个影响不容忽视。但如何考虑次内力对结构承载力的影响，目前尚有分歧。《无粘结预应力混凝土结构技术规范》中，认为按弹性计算超静定结构，由预应力筋在结构截面中产生的次内力一直存在，设计各阶段均需考虑，但对梁（板）轴向变形引起的次内力未作明确规定。由于柱极限承载力阶段刚度下降很大，梁（板）轴向变形引起的次内力随之减小很多，甚至可不必考虑，只有在柱极限侧移值小于预应力梁（板）轴向自由变形值时，才须计算该项次内力对柱承载力的影响。

注：文章内的图表及公式请以PDF格式查看