平面几何最值问题解法探析

【摘要】平面几何中最值问题综合性强、能力要求高.解题时要善于运用特殊与一般、转化、建模等数学思想，灵活运用特殊位置法、轴对称法、平移法、旋转法、构造三角形法、判别式法、配方法等各种数学方法，找到几何最值取得时的位置;或将问题转化成基本最短路径模型;或建立方程、函数模型，再求解.

【关键词】平几最值;解题策略;思想方法

近年来，中考对平面几何最值问题的考查呈现出最值模式的多样化和综合化，题型也由选择、填空题向解答题变化.本文结合近几年中考试题，将蕴涵在其中的各种最值问题显现出来，并探析一些常见最值问题的解题方法.

一、运用特殊与一般的思想―找到几何最值取得时的位置

1. 特殊位置法

特殊位置法就是利用几何特征找到几何最值取得时的位置，然后再求.

例1 如图1，已知点P是半径为1的A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作ABCD.若AB=3，则ABCD面积的最大值为

解析 如图2，过点C作CEAB于点E，则ABCD的面积为AB×CE，因为AB是定值，要使其面积最大，须使CE最大，而CE≤AC，由已知条件可知AC=2，所以CE的最大值为2，ABCD的面积最大值为23.此时CE与CA重合，ABAC.

本题是运用以退求进的办法，找到最值取得时的特殊位置.有时要找特殊点、特殊图形等寻找突破口.

二、运用转化思想―将问题转化成基本的最短路径模型

1. 轴对称法

当动点在定直线上运动时，可通过作出定点关于定直线的对称点来剖析动点的位置，称这种方法叫轴对称法.

例2 如图3，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B 的坐标为（3，3），点C的坐标为12，0，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）.

A.132 B.312 C.3+192 D.27

解析 如图4，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，3），AB=3，OB=23，由三角形面积公式得：AM=32，AD=2×32=3，AN=12AD=32，由勾股定理得：DN=323，C12，0，CN=3-12-32=1，在RtDNC中，由勾股定理得：DC= 12+3232=312，即PA+PC的最小值是312.

本题是过定点作一条定直线的一次对称，通过轴对称将直线“同侧”的两点问题转化为“异侧”的两点问题，解题关键是求出P点的位置，有时要过定点作两条定直线的两次对称

2.平移法

平移法就是根据需要，在平面内把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离.通过平移，将无公共端点的两条线段转化为有公共端点.

例3 如图5，已知直线a//b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）.

A.6B.8C.10D.12

解析 本题是途经一条线段的两点之间最短路程问题，由于MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，由此只要满足AM+NB的值最小即可，AM、BN是两条没有公共端点的线段，我们可以通过平移把它们接起来，形成“两点之间线段最短”基本模型.如图6，把点A沿垂直于直线a的方向向直线b平移4（等于MN的长）到点A′，接下来只要在b上找一点N，使A′N+NB最短即可.因为把点A沿垂直于直线a的方向向直线b平移4（等于MN的长）到点A′，其实就是把AM平移到A′N的位置.因为点A到直线a的距离为2，所以点A平移后的对应点A′也是点A关于直线a的对称点，所以本题也可以用对称法解决.

此例通过平移变换，将平行线“外侧”的两点问题转化为平行线“内侧一点”和“外侧一点”的问题，进而转化为“两点之间，线段最短”基本模型.

3.旋转法

旋转法是一种用旋转变换来解题的方法.此法主要应用在以下两个方面：一是在题设

条件和结论关系不明显或条件不易集中利用的情形下，通过旋转，起到铺路架桥的作用;二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转法，移动部分图形，使题目中隐藏的关系明朗起来，从而找到解题途径.

例4 在ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1.如图7，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按顺时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值.

解析 如图7，因为BE是定值，根据“垂线段最短”，所以过点B 作BDAC，D为垂足，当点P在AC上运动至垂足点D时，将ABC绕点B逆时针旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小（逆时针旋转到A1C1AB时，此时A1C1与AB的交点P1到点E距离最小）;如图8，当P在AC上运动至点C时，将ABC绕点B逆时针旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大（逆时针旋转到BC1与AB在同一条直线上时，即点A，B，C1共线时，此时P1到点E距离最大），即可求得线段EP1长度的最大值与最小值，分别为8和 1.

此例用到了“垂线段最短”这个基本模型，这里是通过旋转变换，找到最值取得时的特殊位置.

三、运用模型思想―建立方程、函数模型

1.判别式法

当一个问题是确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常利用几何图形的性质，建立一元二次方程模型，用根的判别式求解.

例5 如图9，正方形ABCD边长为1，当M，N分别在BC，CD上，使得CMN的周长为2，则AMN的面积的最小值为

解析 如图10，延长CB至L，使BL=DN，则RtABL≌RtADN，故AL=AN，又CM+CN+MN=2，CN+DN+CM+BM=1+1=2，MN=DN+BM=BL+BM=ML，进而求证AMN≌AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°设CM=x，CN=y，MN=z，根据x2+y2=z2，和x+y+z=2，得（2-y-z）2+y2=z2，整理得 2y2+（2z-4）y+（4-4z）=0.由=4（z-2）2-32（1-z）≥0，得（z+2-22）（z+2+22）≥0，又因为z>0，所以z≥22-2，此时，sAMN=SAML=12ML・AB=12Z，因此，当z=22-2时，sAMN取得最小值2-1.

2.配方法

当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时通常建立函数模型通过配方求解.

例6 如图11，直线l与半径为4的O相切于点A，P是O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBl，垂足为B，连接PA.设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是

.

解析：本题若用几何方法，通过几何模型，用几何的手段对动点的位置展开研究很难找到解题突破口，我们不妨考虑用代数的方法，利用函数的有限区间或二次函数性质求最值.如何用函数的手段刻画“线长”的解析式呢？如图12，由题意，作直径AC，连接CP，得出APC∽PBA，利用APAC=BPAP得出y=18x2，所以x-y=x-18x2=-18x2+x=-18（x-4）2+2.

当x=4时，x-y有最大值是2.

通过以上各例的剖析我们不难发现平面几何中最值问题形式较多，但大致可分为求线段的长度、角的度数、图形的面积这三类，解题方法也比较多，概括起来主要是运用了转化思想、模型思想、特殊与一般的思想.如“最短距离问题”，我们在研究时常常利用轴对称、平移等变换，将诸多如“将军饮马问题”、“造桥选址问题”、三角形周长最小、四边形周长最小等问题转化成基本最短路径模型（点与点的距离或点与线的距离），还有一些几何最值问题可转化为代数问题去解决，其关键是根据几何性质建立关系式，利用完全平方公式、一元二次方程根的判别式、二次函数性质从数与形结合的角度求解.有时要注意取值范围的限制.这也可以说是一种“模型思想”;另一种是根据特殊与一般的思想，利用几何特征找到几何最值取得时的位置，然后再求.常见的几何最值模型有：两点之间线段最短，垂线段最短、三角形三边关系、平行线间的距离最短，直径是圆中最长的弦，弧的中点到弧所对弦的距离最长等.对于个别特殊的几何最值问题，可根据周长与面积的关系，利用以下两个重要结论求解：边数相同周长相等的多边形中以正多边形的面积最大.反过来，面积相等的平面图形中以圆的周长最小.

【参考文献】

[1]马小为.中学数学解题思想方法技巧[M].西安：陕西师范大学出版社，2009.

[2]李承勇.例谈平面几何中几种最值问题[J].中学数学教学参考（中旬），2013（6）：49-51.