合作博弈中的夏普利值应用

[摘要]合作博弈亦称为正和博弈，是指博弈双方的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另一方的利益不受损害，因而整个社会的利益有所增加。

[关键词]合作博弈；夏普利值

博弈根据是否可以达成具有约束力的协议分为合作博弈和非合作博弈。合作博弈研究人们达成合作时如何分配合作得到的收益，即收益分配问题。合作博弈存在的两个基本条件是：

（1）对联盟来说，整体收益大于其每个成员单独经营时的收益之和。

（2）对联盟内部而言，应存在具有帕累托改进性质的分配规则，即每个成员都能获得比不加盟时多一些的收益。

一、提出背景

Shapley在1953年提出了夏普利值（shapley值）这一概念，为如何决策一个在n人讨价还价的博弈，也就是合作博弈中，每个人参与的所得分配比例提供了一种很好的方法。Shapley从有效性公理、对称性公理和可加性公理出发，提出了合作对策的解的概念，并证明了它存在的唯一性，这种解也就是后来人们所称为的夏普利值。由于夏普利值是建立在几个公理之上，所以在这里需要先介绍一些定义。在夏普利的设定中，存在着一个包含所有博弈者的宇集U，而每个博弈中的所有博弈者集合N，都是宇集的子集，并称为一个载形，何谓载形：

定义1 在一个支付可转移的联盟型博弈，联盟N?U称为一个载形，当且仅当对于任何一个联盟S?U，都存在着以下的关系：

根据定义1，一个载形包含了所有会对至少一个联盟作出贡献的博弈者，也就是说，任何不属于载形的博弈者都不会对任何联盟作出贡献。

定义2 博弈者i和j在博弈中是可互换的，当对于所有包括博弈者i但不包含博弈者j的联盟S，都存在着以下的关系：

根据定义2，博弈者i和j对于联盟S的用处和贡献都是完全一样的。

根据以上的定义，我们称n维向量为一个值，这个值包含了n个实数，分别代表着在博弈中的n位博弈者所分得的支付。这个值可以理解为每位博弈者在博弈开始之前对自己所分得的支付的合理期望，而这个值必须满足以下的三个公理：

公理1 如果集合N是一个载形，那么

此公理又称为效率公理，要求的是整体理性。

公理2 如果博弈者i和j是可互换的，那么

此公理又称对称公理，要求的是博弈者的名称并不会对影响博弈起任何作用。

公理3 如果和是两个博弈，那么

此公理又称集成定律，要求的是任何两个独立的博弈联合在一起，那么所组成的新博弈的值是原来的两个博弈的值的直接相加。

根据上述的定理和公理，可以得到一个能满足夏普利公理的函数：

定理1（夏普利定理）函数是唯一能够满足以上三个公理的函数，这函数可以表达为：

其中，

则为联盟S的成员数目，我们称为夏普利值。

在定理1中，可以理解为博弈者对联盟S的边际贡献，而则是每个联盟S的加权因子。

二、应用举例

现有三家工厂，分别为：汽车制造商（1）、汽车分销商（2）和汽车零售商（3），为了适应现在管理的要求，提升企业的竞争力，三家工厂拟构成供应链系统，组建合作联盟，则局中人的集合为{1，2，3}，根据市场状况和实际资料显示，在不同的联盟情况下的预期收益v如表1所示：

根据夏普利值法，含有制造商（1）的子集有：{1}、{1，2}、{1，3}、{1，2，3}，制造商（1）利润分配结果如表2所示：

表2 制造商（1）利润分配表

由此可得，制造商（1）的分配利润为：

同理可得出后面两个值，因此，夏普利值为（18，16.5，19.5）

三、结论

通过夏普利值的运用，我们可以看到整体利益和集合中个体的利益都得到了提升，产生了效用的最大化。因此，在平时的经济生产和合作中，充分应用夏普利来提高生产效益是十分必要的。但是由于它需要假设条件的严格性，会使得结果和真实产出有一定的出入，这也是夏普利值在经济活动中的局限性所在，只有将假设和生产环境及条件充分联系起来，才能使其发挥最大的作用。