等腰三角形性质的教学设计研究

数学教学设计是一项结构系统性的整体工程，它的构成要素体现于互相关联的三个层面：理解所要传授的具体数学知识所呈现的环节及其联结中介的组成序列（简称“教材分析”）；把握学生生成数学知识环节及其联结中介的心理活动环节及其过渡性中介（简称“学情分析”）的组成序列；通过创造性工作找到关联这两方面环节组成序列之间的切合点（可以沟通的元素）、实现两者之间的贯通（简称“关联分析”）.如框架图1所示[1].本文主要以数学教学设计水平的一种教学实践现场为例，探讨实现提升教师（尤其是卓越师范生）教学设计水平的一种重要途径.

1数学教学设计的一个教学课例

张昆（《数学教学论》的教师）老师出示的问题：请同学们设计“等腰三角形两底角相等”这个知识点的教学.半小时后，请两位同学作15分钟的汇报（下面是模拟课堂，其中，我们选择了两位设想为“教师”的卓越师范生的教学设计与实施的过程，其中的“学生”为课堂现场中的其他“卓越师范生”）.

（1）陈帅（卓越师范生之一）的教学设计及其实施汇报如下：

师：大家通过等腰三角形的定义，知道等腰三角形中有两条边相等.同学们看，这里有一个在小学学习过的矩形BCDE（其中BE>BC），请完成下面的任务：以B、C为两个顶点（如图2），第三点在这个矩形的边DE上，构造一个等腰三角形.

课堂活动记录：有的学生用铅笔尖在长方形的边DE上不断地试探，有的学生在思考.总之，他们都紧张地活动了起来.

生1：取DE的中点A，连接AB，AC，所得到的ABC（如图3）就是一个等腰三角形.

师：很好！你是如何知道ABC为等腰三角形的呢？为什么要取DE的中点A呢？

生2：因为要得到等腰三角形只需使AB=AC，而当且仅当A为DE的中点时有AE=AD，又由矩形的性质（小学已经学习过，学情分析提供），知BE=CD，∠D=∠E=90°，则由三角形全等的判定（“SAS”）公理，可知ABE≌ACD.则可知AB=AC，即ABC是等腰三角形.

师：如此，我们知道了ABC是等腰三角形.那么，请大家思考，在图3中，∠1与∠2有什么关系呢？

生3：∠1与∠2应该相等.

师：为什么？

生4：上面我们知道ABE≌ACD.在图4中由三角形全等的性质可知∠3=∠4，矩形中有∠EBC=∠DCB=90°，由“等角的余角相等”这一性质，知∠1=∠2，即等腰三角形两底角相等.

师：非常好！以上的探究过程就是我们今天所要学习的内容，等腰三角形的性质“等腰三角形两底角相等”，简称“等边对等角”.

张昆老师发问：请注意，对陈帅的教学设计及其实施过程大家作何评价？哪些地方是令人满意的，还有哪些地方不尽人意，需要改进呢？

（2）孙培磊（卓越师范生之二）的教学设计及其实施汇报如下：

师：陈帅所提供的教学设计与教学实施过程，让我们发现了“等腰三角形两底角相等”这一性质的知识.大家有没有认识到在证明∠1=∠2的过程中是借助了矩形的性质来达到发现证明思路这一目的的.但是，在实际证明的过程中，我们并不容易构思出如此的矩形来辅助证明思路的发现.那么，应该如何直接在等腰三角形中证明两底角相等呢？

师：也就是说，在图5中，根据已知条件AB=AC，证明等腰ABC中两底角相等，即∠B=∠C.

生5：我们可以考虑利用三角形全等来证明.

生6：想要用这种知识就必须有两个三角形，我想通过添加辅助线把这个ABC分割成两个全等的三角形.

师：很好，添加辅助线有很多不同的方法，下面请同学们讨论如何添加辅助线.

课堂活动记录：经过激烈的讨论之后，各小组同学都用铅笔画出了各自的讨论结果.

生7：我添加的辅助线如图6所示，任意在AB上取一点D，连接CD就可以出现两个三角形ADC和BDC.

师：很好，生7用CD成功将ABC分割成了两个三角形.但是，这种辅助线破坏了∠C与线段AB这两者的完整性，从而无法利用已知条件AB=AC.所以该辅助线的添加不利于解题，故此方法不可取.还有其他更好的方法吗？

生8：我添加的辅助线如图7所示，任意在AB上取一点E，在AC上取一点F，连接EF就可以出现两个三角形ABC和AEF.

师：很好，生8的做法保留了∠B，∠C的完整性.但是，依然无法利用AB=AC这一条件，故这种添置辅助线的想法仍不可取.

生9：我添加的辅助线如图8所示，任意在BC上取一点G，连接AG，就可以出现两个三角形ABG和ACG.

师：很好，生9的做法保留了∠B，∠C的完整性，且可以利用已知条件AB=AC，但仍然无法证明∠B=∠C.为什么这条辅助线在满足保留不破坏题目条件的要求后，还是不能证明∠B=∠C呢？

生10：我的想法和生5一样是利用全等这一知识点，且由生9中的辅助线的可行性知在BC上取点时，绝不能任意取点，应带有利用全等思想的目的性作辅助线，故我取BC的中点H，连接AH，则得到ABH和ACH（如图9所示）.

师：非常好，这种做法既保留了∠B，∠C的完整性，可以利用已知条件AB=AC.又通过H点的选取，得到新的条件：BH=CH.下面请同学们思考，根据图8中的条件能否证明∠B=∠C呢？

生11：由图8中可知，H点为BC的中点，则ABH与ACH的三组对应边具有以下几何关系：AB=AC，BH=CH，AH=AH.则由三角形全等的判定（“SSS”）公理知ABH≌ACH.由全等三角形的性质可知∠B=∠C.

师：在这种证明过程中同学们会发现，我们利用了添加辅助线这一思想.并且通过四位同学的辅助线之间的对比，结合不同作法的辅助线对解题过程产生的不同影响，最后选出合理有效的辅助线，迅速准确的证明了等腰三角形的两底角相等.同时，也附带地得出了“等腰三角形”的“三线合一”的性质.

（3）张昆老师补充一种证明过程

师：以上证明的各种方法都各有特点，在孙培磊的这种证明方法中，在辅助线的帮助下利用了全等的思想构造新的三角形进行证明，实际上我们还可以直接利用全等三角形的知识解题.在ABC中（如图10）已知AB=AC，证明∠B=∠C，要证两角相等只要两角能够重合即可.即∠B与∠C重合，那么我们不妨将ABC通过翻转得到ACB（如图11），在图9与图10这两个三角形中，由于AB=AC，AC=AB，∠A=∠A故有ABC≌ACB（“SAS”）.由全等三角形的性质可知：∠B=∠C.

反思：这种方法能够更加直观地利用全等三角形的知识，避免了构造矩形和添加辅助线的复杂性，但这种翻转的思想也不容易构思，并且证明过程不能得出“三线合一”的性质.

2课堂讨论的进一步深入

我们合众人之力，发现了“等腰三角形的两底角相等”这个性质定理的教学设计及其实施过程的三种方案.在这三种发生认识方案中，都是学生可以接受的，但各有利弊.其实，实际的教学设计与实施的过程，为我们提供了鲜活的材料与资源，那么，大家在真正的教学设计时，如何利用我们所获得的这些材料呢？下面选择了部分师范生课堂发言的要点摘录：

陈帅的教学设计流程是不可能作为“等腰三角形”性质证明的现实教学的.因为，其一，在小学时，学生没有学习严格的矩形性质，在严格的平面几何证明中，不宜于使用它作为理论基础；其二，正如孙培磊的分析，学生不可能想到利用矩形作支架来证明这个性质；因此，这种发生知识的过程对学生作相关辅助线的经验与能力都没有多大帮助.就是说，陈帅的教学知识分析是清楚的，但是，学情分析不够，没有估计好学生发生认识的心理过程.

张老师（张昆）提供的证明方法具有较大的创造性，需要从图10中想象出图11，事实上，这是适应了等腰三角形特殊性质的特殊想法，这种解法对学生形成辅助线的认识与能力没有多大关系，因此，这种证明方法可以在完成教学任务后，针对学有余力的学生，通过合适的设计手段启发他们发现，使学生体会思路发现的奇异之美.然而，对于我们师范生（将来的数学教师）而言，这一证明过程必须要考虑到，收入囊中，才能为我们今后的教学更好地发挥知识的价值提供帮助.

孙培磊的教学设计是优质的，她设法描摹学生产生这条合适的辅助线的心理过程，而不是将自己知道的这条辅助线的结果直接“奉献”给学生.作为教师，对这条辅助线的添置几乎已经出于一种本能，但是，对于八年级的学生而言，刚接受平面几何证明的学习，他们不可能直接就作出图9中的AH，必然有一个审视图形、思考、判断与选择的过程.事实上，对于我们有了学习平面几何证明的师范生来说，图9辅助线的想法近乎于一种直觉了，但是，也确实具有一种审视与选择的过程.孙培磊采用了将学生发生辅助线的心理活动过程通过设计的手段，细心地展示在学生的面前，用此行为促进学生观察自己的思考过程，并从这一活动过程中获得体验，形成经验.尽管这种发生知识的过程是常规的，但是，通过学情分析，加深对学生发生认识过程的认识，就可以设计出符合学生认知方式的教学设计，由此，可以看出学情分析的重要性.

由这些同学的发言，师范生们得出了结论，应当选择孙培磊提出的教学设计方案来实施教学.此时，张昆老师又提出问题，那么，陈帅与张昆老师提出的这种发生知识（或证明结论）的过程对孙培磊提出的教学设计是否具有帮助呢？或者说，陈帅与张昆老师提供的这些作为原料的想法可以为孙培磊的教学设计增色吗？

关于这一点，需要师范生提出自己的见解，孙培磊可能想得更为深刻些，我们摘录她的发言：陈帅提出的矩形内的等腰三角形可以作为探究等腰三角形的存在，并且非常直观地给出了等腰三角形性质的证明.因此，我们在课的起始时，引进等腰三角形性质时利用它作为情境，可以不作出证明的依据（当然，像我们前面的安排，带领学生由此探究证明也没有关系，可以过渡到我所提供的添加辅助线的证明过程）.张昆老师提出的证明方法可以安排在我所提供的性质证明之后，引导学生思考，因为这种方法具有较大的创造性，也可以开阔学生的视野，应用时，不能仅靠学生的想象力，而一定要给出另一个与之完全一样的等腰三角形，正如张老师所提供的这一个虚线等腰三角形加以辅助.

3一点说明

本来本文的表达形式可以写成数学教师现实中的教学设计，但是，考虑到高师高年级数学师范生与初职数学教师确实需要有一个吸收教学设计智慧与提升教学设计能力的过程，而这种原生态的教学论课堂讨论，可能更具有启发性与针对性.因此，我们选择这种表达形式，在此特作一点说明.

参考文献：

[1]张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J].数学教育学报，2014，23（3）：3.