时间：2022-09-05 01:14:43
在几何问题中，若遇到三角形的角平分线、角平分线的垂线或线段的垂直平分线时，一般地考虑通过构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质找解题的途径.现略举几例解析如下，供同学们参考.
例1 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，试证明 BD＝2CE.
分析：已知ＢＥ为∠ABＣ的角平分线，且ＣＥＢＥ，故延长BA、CE交于点F，可知ＢＣＦ为等腰三角形．
证明：延长BA、CE交于点F.
因为∠BAC＝∠BEF＝90°，
所以∠ABD＋∠F＝∠ACF＋∠F＝90°，
所以∠ABD＝∠ACF．
又因为∠BAD＝∠CAF＝90°，AB＝AC，所以RtABD≌RtACF（ＡＳＡ），
从而BD＝CF．
因为BE平分∠CBF，且BECF，所以BCF为等腰三角形，且CE＝EF.从而 CF＝2CE， 即 BD＝2CE．
例２如图2，在ABC中， AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，试证明BD＝1/2CD.
分析： 已知ＤＥ为线段ＡＢ的垂直平分线，所以连接ＡＤ，可得等腰ＡＢＤ．
证明： 连接AD，因为AB＝AC，∠A＝120°，所以∠B＝∠C＝30°.
因为DE垂直平分AB，所以ABD为等腰三角形，故BD＝AD，∠BAD＝∠B＝30°，从而∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－30°＝90°.
又∠C＝30°，所以AD＝1/2CD，而BD＝AD，
所以BD＝1/2CD．
例３如图3，在ABC中，AB＞2AC，试证明∠ACB＞2∠B.
分析： 此题可设法在ABC的外部构造等腰三角形，使∠ACB等于某一角的两倍，再利用大边对大角即可证明问题．
证明：延长BC到D，使CD＝CA，连接AD，
则CAD为等腰三角形，且∠D＝∠CAD．
因为∠ACB＝∠D＋∠CAD，所以∠ACB＝2∠D．
因为CA＋CD＞AD，即 2AC＞AD，而AB＞2AC，
所以AB＞AD，从而∠D＞∠B，所以2∠D
＞2∠B，即 ∠ACB＞2∠B．
例４如图4，在ABC中，∠ＡBＣ＝2∠C，∠ＢAＣ的平分线交BC于点D，试说明AB＋BD＝AC.
分析： 这道题的条件和结论之间的关系不是很明显，要直接证明结论有一定的难度．由∠ＡBＣ＝2∠C，可在ABC的外部构造等腰三角形，使∠ＡBＣ等于某一角的两倍，从而又可得等腰三角形．
证明：延长CB到E，使BE＝AB，连接AE，
则BAE为等腰三角形，且∠E＝∠1．
因为∠ABD＝∠E＋∠1，
所以∠ABD＝2∠E＝2∠1，而∠ABD＝2∠C，
所以∠C＝∠E＝∠1，则AEC为等腰三角形，AE＝AC．
因为∠C＝∠1，∠2＝∠3，
∠ADE＝∠C＋∠3＝∠1＋∠2＝∠EAD．
所以EAD也为等腰三角形，则 AE＝DE＝DB＋BE＝DB＋AB，即 AB＋BD＝AC．
总结：从以上几例可以看出，巧妙地构造等腰三角形，然后借助等腰三角形的有关性质，可以迅速找到解题的途径.这种方法构思新颖，有助于提高同学们的数学思维能力．