等腰三角形中的分类讨论思想

在解决等腰三角形问题时，由于等腰三角形的特殊性，为了解题方便，可以将问题分为不同种类，然后逐类解决，从而达到解决问题的目的，这一思想方法称为分类讨论的思想方法。下面结合例题介绍分类讨论思想在等腰三角形中的应用，供同学们参考。

一、三角形的形状不确定

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为

（ ）

A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°

分析 根据题意满足条件的三角形可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形。

解 （1）当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内部，它与另一腰的夹角为30°，则顶角∠C为60°，如图1—1。

（2）当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高在腰的延长线上，它与另一腰的夹角为30°，则顶角的补角是60°，顶角的度数为120°，如图1—2。

综上所述，顶角的度数为60°或120°。故答案选D。

点评 因为三角形的形状不确定，因此，所对应的三角形的顶角的度数也就不一样。

二、线段未确定

在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

分析 线段OA可以是底边，也可以是腰。

解 如图2所示，若OA为底，则P1（1，0）；

点评 以上解答是按OA为边时的情况讨论，当然也可以按A为顶角的顶点和O为顶角的顶点的情况讨论。

三、角未确定

已知等腰三角形的一个角为80°，则它的另外两个角是_______。

分析 题目中没有指出80°角是等腰三角形的底角还是顶角，因此，需要分两种情况求解。

四、边未确定

已知AD为等腰ABC的腰BC上的高，∠DAB=60°，求这个三角形内角的度数。

分析 已知AD为腰上的高，则∠A为底角，而AB与AC不能确定哪个为腰，因此要分类讨论。

解 分三种情况：（1）如图3—1所示，AB=BC且ABC为锐角三角形。

因为∠ADB=90°，∠DAB=60°，所以∠B=30°。又AB=BC，所以∠BAC=∠C=75°。

（2）如图3—2所示，AB=BC且ABC为钝角三角形，则∠BAC=∠C。

因为∠ADB=90°，∠DAB=60°，所以∠ABC=90°+60°=150°，∠BAC=∠C=15°。

（3）如图3—3所示，AC=BC，则∠BAC=∠B。

因为∠ADB=90°，∠DAB=60°，所以∠B=30°。所以∠BAC=30°，∠ACB=120°。

综上所述，ABC的三个内角的度数分别为30°、75°、75°或150°、15°、15°或120°、30°、30°。

点评 应用分类讨论思想解题时，同学们要有较高的综合分析问题的能力，要仔细分析存在的各种可能，否则容易产生漏解。

用分类讨论数学思想解决问题，在数学学习中越来越体现出其重要地位，同学们要通过不断练习逐步领会掌握分类讨论的数学思想方法，努力提高解题能力和数学素养。