掌握概念的内涵,挖掘概念的外延

(榆中县恩玲中学 甘肃 榆中 730100)

【摘要】基本概念的教学是数学教学中的一个重要环节。数学课的教学中，应重视概念的教学，使学生理解并掌握概念的内涵，挖掘概念的外延，可培养学生进行发散思维的兴趣和能力，从而大面积提高教育教学质量。

【关键词】概念;教学

Control the content of concept, scoop out concept of outside postpone

Li Zhi-hong

【Abstract】The teaching of basic concept is an importance link in mathematics teaching.In the teaching of mathematics lesson, should value concept of teaching, make student comprehension and control the content of concept, scoop out concept of outside postpone, can development the student carry on interest and ability which dissipate of thinking, thus big rea exaltation education teaching quality.

【Key words】Concept;Teaching

基本概念的教学是数学教学中的一个重要环节。常见到学生在解数学题时常常出错的现象，大部分是由于概念不清所致。很多数学题的解题过程需要从概念出发进行思考，运用性质、法则、公式进行合理变形、推理。而很多数学概念都是及其抽象的。因此在数学课的教学中，应重视概念的教学，使学生理解并掌握概念的内涵，挖掘概念的外延，可培养学生进行发散思维的兴趣和能力，从而大面积提高教育教学质量。

1. 重视概念教学，掌握概念的内涵 概念是思维的“细胞”，是数学理论的基础。只有深刻理解念的本质特征，才能更好地掌握方法，提高分析问题和解决问题的能力才有了前提。

1.1 反函数概念的教学。反函数是高中数学学习中的一个难点，教学中，首先需要搞清楚反函数的概念：从函数y=f(x) (x∈A,y∈B),解出x=f-1(y),如果对于y在B中的如何一个值，通过式子x=f-1(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么互换x与y之后，y=f-1(x) (x∈B,y∈A)叫做原函数y=f(x)的反函数。在这里，要重点理解以下内容：

（1）函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数；

（2）函数f(x)的定义域A，值域B，函数f-1(x)定义域B，值域A;

（3）对应法则f:AB, f－1:BA;

即从函数概念的三要素为出发点进行反函数概念的教学。同时，值得注意的是：不是每一个函数都有反函数。另外，作出图像时可知反函数的图像与其原函数的图像关于直线y=x对称。

1.2 函数单调性概念的教学。函数单调性的定义是:对给定区间D上的任意x1,x2，如果x1f(x2)］，则函数f(x)为这个定义域D上的递增（减）函数。

这个定义有如下两种等价形式：

设x1,x2∈［a,b］那么：

（1）f(x1)-f(x2)x1-x2>0(

（2）x1-x2［f(x1)-f(x2)］>0(

在理解函数单调性时，应注意以下几个问题：

（1）单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；

（2）函数的单调区间是定义域的子集，定义中的x1,x2相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值代替；

（3）函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”；

（4）f(x)在区间D1,D2上是增（减）函数，但不一定在区间D1∪D2上是增（减）函数。例如函数f(x)=1x在(-∞,0)上是减函数，在在(0,+∞)上也是减函数，但在D1∪D2上不是减函数。

2. 深刻理解概念，合理进行概念外延

2.1 课本中对周期函数是这样定义的：对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时

f(x+T)=f(x)

都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

仔细分析，理解周期函数的定义，必须注意以下几点：

（1）T是不为零的常数；

（2）使 f(x+T)=f(x)成立的x是定义域中的每一个值；

（3） f(x+T)=f(x)中，T只与x相加；

（4）x+T必须是y=f(x)的定义域中的值；

（5）有些周期函数无最小正周期，如f(x)=c(c是常数）

（6）f(x+T)=f(x)中x的系数必须为“1”。

可以证明以下结论：

(1)如果y=f(x)是周期函数，那么其定义域比为无界区间(-∞,+∞)；

(2)如果T是函数y=f(x)的周期，那么-T，±2T，±2T,……，±kT(k∈Z，k≠0)都是函数y=f(x)的周期。

有了第（1）个结论对理解正、余弦函数定义域为无限区间(-∞,+∞)是有帮助的。有了第(2)个结论，对理解正、余弦函数的周期为2kπ(k∈Z，k≠0)是很有帮助的。

针对以上几点，特设计如下练习，作为补充。

(1)若sin（120°+30°)=sin30°,那么y=sinx的周期T=120°，对吗？

(2)若y=f(x)是周期函数，且f（2x+T)=f（2x-1)（T -1，T为常数），那么y=f(2x)周期是多少？y=f(x)的周期是多少？答案：y=f(2x)周期为1+T2；f（x)周期为1+T。

(3)函数y=tanx, x∈(-32π,32π)的周期是多少？试用x=56π代人检验之。

2.2 关于正棱锥概念的教学。关于棱锥，教材是这样定义的：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。

关于正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥。

理解棱锥概念时要注意以下说法是否正确：

(1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是不是棱锥；（答：不是）

(2)棱锥就是由一点出发引若干条射线，用一个与这些射线都相交的平面去截，如此形成的几何体；（答：错）

(3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥;（答：错）

(4)各侧面和底面所成二面角相等的棱锥一定是正棱锥;（答：错）

(5)底面多边形内接于一个圆的棱锥，它的侧棱长相等。（答：错）

2.3 函数的奇偶性的教学。对于函数f(x)定义域内任意一个x,若有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数；若有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数。

在理解函数奇偶性时需要注意以下几点：

2.3.1 只有当函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断。

2.3.2 奇偶性的定义是判断函数奇偶性的依据。对于一时难以找到函数f(-x)与f(x)关系时，常用以下等价形式加以判断。

(1)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0;

(2)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0;

(3)当f(x)≠0时，也可用f(-x)f(x)来判断。

2.3.3 判断函数的奇偶性，有时需将函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响。

2.3.4 若函数f(x)的定义域为［-a,a］(a>0),则“f(0)=0”奇函数的必要不充分条件；若函数f(x)的定义域为［-a,0)∪(0,a］(a>0),则“f(0)=0”既不为奇函数的充分条件，也不是必要条件。

2.3.5 在公共定义域上时，两个奇函数（或偶函数）的和、差仍为奇函数（或偶函数），两个奇函数（或偶函数）的积、商为偶函数。

2.3.6 函数f(x)与函数af(x)、1f(x)有相同的奇偶性。

2.3.7 非零常数函数f(x)=a(a≠0)是偶函数，常数函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数。

3. 运用性质反思概念，使抽象概念形象化 例如：棱台的概念是个“生成”概念。即：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，原棱锥底面与截面之间的部分叫棱台。这就是说，棱台是棱锥截得的。而正棱台是正棱锥截得的。关于正棱台其中有一条性质是说，用平行于底面的平面去截棱台，截面与底面是相似正多边形。按此性质可以反思棱台的概念。如此想象：

(1)棱台就是这样一个几何体，当给这个几何体加上一个适当的小棱锥时可得到一个大棱锥。而棱柱却不能。(2)一个几何体用一个平面去截，分成的两个几何体让都是棱台，则这个几何体也是棱台。即：一个棱台可截得若干个小棱台。总之，在新课改下数学课的概念教学中若对教材中的定义加以分析，合理想象，抓住概念的本质，合理进行概念外延的教学，可培养学生进行发散思维的兴趣，对培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力都是有益处的。