初中数学应用型问题举例

《数学课程标准》中明确提出，“教学中，教学应该努力发掘出有价值的实习作业，让学生在现实中寻求解决方案”. 数学练习要引进相关的生活问题，使学生学用结合. 实际应用型问题的一般解题步骤是：分析实际问题――构建数学模型――建立数学模式――解数学关系式――回归原实际问题. 其关键是如何构建数学模型.如果从数学的角度进行概括，抽象，分析，那么应用型问题就变成数学形式或数学模型表现出来. 下面列举一些习题作出分析和解答，供大家参考.

一、 函数应用型

如图，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（ 分别是正比例函数图象和一次函数图象）.根据图象解答下列问题：

（1） 请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式

（2） 轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？

（3） 问快艇出发多长时间赶上轮船？

分析 由已知条件可设两条直线分别为y=kx（k≠0）或y=kx+b（k≠0），然后根据图象给出的点的坐标，利用“待定系数法”可确定（1） 中的两条直线；（2） 由图可得轮船8h行160km，快艇4h行160km，分别求其速度；（3） 根据追及问题中“快者路程-相距路程=慢者路程”可求解.

点评 本题主要通过一次函数图象与坐标轴的交点的意义来解决实际问题，因此弄清交点的意义是关键，然后用待定系数法求函数解析式.

二、 方程、不等式（组）应用型

某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．

（1） 请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？

（2） 若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？

答案 解：（1） 因为篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，所以，可以依次设它们的单价分别为8x，3x，2x元，于是，得8x+3x+2x=130，解得x=10．

所以，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为80元、30元和20元．

（2） 设购买篮球的数量为y个，则够买羽毛球拍的数量为4y副，购买乒乓球拍的数量为（80－y－4y）副，根据题意，得

80y+30×4y+20（40-y-4y）≤3000 ①80-y-4y≤15 ②

不等式组的解集为13≤y≤3014，因为y取整数，所以y只能取13或14．

因此，一共有两个方案.

方案一，当y=13时，篮球购买13个，羽毛球拍购买52副，乒乓球拍购买15副；

方案二，当y=14时，篮球购买14个，羽毛球拍购买56副，乒乓球拍购买10副．

点评 方程、不等式（组）应用型问题往往与解决方案设计有关，要正确列不等式组，求出解集，再确定整数解.涉及最值问题，可以与函数知识综合.

三、 锐角三角函数应用型

下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？

（参考数据：≈1.414，≈1.732 ）

答案 解：在RtΔABC中， BC=10，∠CAB=45° AB==10（米）

在RtΔDBC中，∠CDB=30°

DB==10米

则DA=DB-AB=10－10≈10×1.732－10= 7.32米．

3 + DA>10，所以离原坡角10米的建筑物应拆除.

答：离原坡角10米的建筑物应拆除．

点评 通过建模把实际问题转化为数学问题，构造直角三角形，用锐角三角函数知识解决，当然首先要分析要求什么.

四、 实验应用型

一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（1） 能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点；

（2） 能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．

（2）（图案设计不唯一）

将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=OD=OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE=x，则ED=30－x，DH=15．由BE=OD，

得x2+302=152+（30－x）2， x==，

BE=≈30.2

即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求．

或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=31，H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则AE==，DE=30－，

DO=≈26.8＜31，如此装三个这个转发装置，能达到预设要求．

点评 本题涉及四边形，一元二次方程，勾股定理等知识的综合应用，此外还考查学生的动手操作能力，分析实际问题，从而解决问题.

新课程改革引起了质量观、学生观和课程观等诸多方面的变化.在初中数学教材中反映出的变化，就是从新知识的引入到知识的灵活运用等，都增加了应用型问题，各种具有时代特征、地域特色、人文内涵并且与学生生活情景紧密结合的应用问题，出现在教材中．学生数学应用问题解决能力的培养也不是一朝一夕之功，需要我们从多方面，多角度，多层次，持续性地培养！