高考数学卷中的创新题(六)

数学创新试题具有情景新颖、内涵深刻、设问方式灵活等特点，富有一定的创造性.这类试题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，旨在考查考生对数学问题的观察、理解、探究、概括、类比、归纳等诸多方面的能力和创新意识.考生可以凭借自己擅长的方式构思或寻找解决问题的方法，创造出独特的解法.2013年高考很多套数学卷中的立体几何题富有创新，但仍注重基础知识和基本方法的考查，有一种“只缘身在此山中”，却“不识庐山真面目”的感觉.

真题再现1 （湖南理科卷第7题）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于

A.1 B. C. D.

难度系数 0.40

新在哪里 本题考查正方体的正视图的面积，考查考生的识图能力.本题新在不是常见的考查几何体的表面积与体积，而是确定正视图的可能情况，确定正视图的高为1，宽所在的区间，此种题型不落俗套，富有创新，应予以重视.

解答过程 由题意可知，正方体的棱长为1，正视图的高为1，宽在区间[1， ]内，所以正视图的面积在区间[1， ]内.又

解后反思 根据物体的三视图，我们想象物体的形状一般是由俯视图确定物体在平面上的形状，然后根据侧视图和正视图嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状.正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状.

真题再现2 （上海理科卷第13题）在xOy平面上，将两个半圆弧（x-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3）、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图1中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面积为4π +8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______.

难度系数 0.40

新在哪里 本题将解析几何与立体几何巧妙结合，既考查几何体的体积，又考查考生对祖暅原理的理解与运用.考题中提供两个信息：一是截面的面积；二是几何体的构建，即“一个平放的圆柱和一个长方体”.首先，由截面面积可知截面可能为两个截面的面积之和；其次，考虑几何体的相应尺度；最后，由祖暅原理计算出几何体的体积.

解答过程 如图2所示，设长方体的长为2π，宽为4，高为2，圆柱的底面半径为1，长为2π.过（0，y）（|y|≤1）分别作圆，长方体的水平截面圆柱中的弦AB=2 .又AD=2π，所以截面面积为4π .而长方体的截面面积恒为8π，所以截面面积的总和为4π +8π.根据祖暅原理，每个平行水平面的截面的面积都相等，所以它们的体积相等.所以，几何体Ω的体积等于长方体与圆柱的体积之和.又长方体的体积为16π，圆柱的体积为2π2，所以Ω的体积值为2π2+16π.

解后反思 高考考查空间几何体的体积，通常直接考查求几何体的体积问题，有时也考查已知几何体的体积求某些元素或元素间的位置关系问题.

真题再现3 （江西理科卷第8题）如图3，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=

A.8 B.9 C.10 D.11

难度系数 0.50

新在哪里 本题考查空间几何体的结构特征，空间直线与平面之间的位置关系.判断CE，EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面的个数，从而求出m+n的值.通过图像直观来看，考生容易误判直线EF与正方体的前后两个侧面也平行，或者误判直线EF与正方体的左右两个侧面相交.

解答过程 直线CE在正方体的下底面内，与正方体的上底面平行，与正方体的左右两个侧面、前后两个侧面都相交，故m=4.

取CD的中点为G，显然易证明平面EFG与正方体的左右两个侧面都平行，所以直线EF与正方体的左右两个侧面平行.此时易知EFG的底边EG上的高线与正方体的前后两个侧面平行，所以直线EF一定与正方体的前后两个侧面相交.另外，直线EF显然与正方体的上下两个底面相交.综上可知，直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4，故n=4.

所以m+n=8.选A.

解后反思 本题侧重于考查数学语言与图形语言的转译，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，去伪存真，它对考生的空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求.

真题再现4 （北京理科卷第14题）如图4，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为______.

难度系数 0.40

新在哪里 过点P作PH底面A1B1C1D1，过点E作EE1底面A1B1C1D1，E1在线段B1C1上，将点P到线段CC1的距离转化为HC1，再在RtC1D1E1中利用等面积即可求得结论.

解答过程 如图5所示，过点P作PH底面A1B1C1D1，过点E作EE1底面A1B1C1D1，E1在线段B1C1上，点P到线段CC1的距离为HC1.当点P在线段D1E上运动时，最小值为点C1到线段D1E1的距离.所以，最小值为C1D1E1斜边D1E1上的高.利用等面积法，由D1E1·h=C1D1·C1E1，求得h= .故点P到直线CC1的距离的最小值为 .

解后反思 本题主要考查考生的空间想象能力和推理论证能力，考查线线平行、面面平行的判定与性质，线线垂直、面面垂直的判定与性质.这类问题多以选择题或解答题的形式出现，解答题中多以证明线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直以及求角与距离的计算为主，属于中档题.

（作者单位：江苏盐城市时杨中学）

（责任编校/周峰）

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《立体几何创新型高考题解析》

立体几何一直是高考创新题型的“集散地”，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的立体几何创新题频频出现，它们充当着“把关题”的重要角色，具有很好的区分和选拔功能.

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