工科线性代数理论结构探析

[摘要] 工科线性代数是大学理工科和经管类学生的一门重要的必修课程，它在培养学生的抽象思维能力方面起着十分重要的作用。本文试着从如何认识线性代数的理论结构方面着手，阐述了一些重要的知识点之间的关系，以求使学生能对线性代数课程有一个整体全面的把握。

[关键词] 线性代数 抽象思维 线性相关性

一般的工科《线性代数》课程主要包括线性方程组、行列式、矩阵、向量、特征值与特征向量、向量空间与线性变换、二次型等几部分内容[1]。在教材中各部分内容均可独立成章。从而造成线性代数教材可以用不同的方式去组合各个专题展开课程的内容。因此学生很难自发深刻地体会到彼此之间的联系。此外，线性代数课程所具有的高度抽象性也常常使学生望而生畏。针对这些情况，已有不少作者发表了关于怎样学好线性代数的一些文章，可参考文献[2-5]。

在长期的教学实践当中，本文作者发现在对书本知识经过一番必要的解释之后，再从教材的理论结构这一大处着手，半句妙语，提纲挈领，往往胜于千言。因此，针对线性代数课程抽象枯燥的特点，提出了强调教材结构体系的方法。从而将线性代数各部分有机地联系到一起，以使学生对线性代数课程有一个整体全面的把握。

寻找线性代数的理论结构，需要注重局部和全局的关系。线性代数是一门高度抽象的课程，如能从高处以更广的视野对教材的内容进行审视，或对内容进行一种全局性、宏观性的概括，就可使学生的学习有明确的目标意识，而纷繁多头的知识点也就会呈现出清晰的主干脉络和条理性，达到事半功倍的效果。线性代数具有很多种理论层次结构。本文试图从如下几个方面来理解线性代数的理论结构。

一、线性代数的理论基础来源于解线性方程组

最初的线性方程组问题大都来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。展开知识的发展过程就是这个问题的解决过程。所有枯燥的理论都是从这里生长的。在学生明确了学习的目的之后，很自然的就可以回忆起高中解二元一次线性方程组的方法――消元法。那么在大学里，我们将要解决的是所有含有有限个未知量的线性方程组。熟话说：工欲善其事，必先利其“器”！而行列式和矩阵正是我们研究线性方程组的两个“器”。首先，为了求解方程的个数与未知数个数相等时的线性方程组，引入了行列式的概念，进而讨论其性质，利用他们得到了解这类线性方程组的优美的克莱姆定理。其次，对于方程的个数与未知数个数不相等时的线性方程组，引入了矩阵这一工具。而前者可以统一到后者之中。学生在明白了这一简单的理论架构以后就知道自己为什么要学习行列式和矩阵了。参看下面的图1。

图1表明了求解线性方程组时所用到的两种工具。

二、线性代数的重要内容――矩阵

矩阵或者说增广矩阵就是把一个线性方程组最重要的信息提炼出来。这是学生在线性代数的学习中将要遇到的第一次抽象。这一问题的转化过程是通过一一对应实现的。因此矩阵来源于线性方程组。但是矩阵作为线性代数中一个崭新的概念，随着矩阵理论自身的发展，它又是高于线性方程组的。这句话不是很好理解，打一个譬如。如果我们把线性方程组看作“道”，矩阵是另外的“道”。那么矩阵这个“道”是可以用线性方程组这个“道”来描述的，但又不仅仅是线性方程组这个“道”的平常意义所能包涵得了的。很熟？对！就是“道可道，非常道”那句话。事实上，我们的线性方程组这个“道”也是来源于现实生活中更具体的“道”------“道”法自然。而矩阵那个“道”也可以用诸如向量组，向量空间等更高级的“道”来抽象。像这样一种不断的用“道可道，非常道”抽象上去的理论结构的强调对学生抽象思维能力的培养是很有好处的。参看下面的图2。

图2揭示了线性代数课程的某一种理论层次结构：表明了从线性方程组到子空间或极大线性无关组的不断发展抽象的过程。

三、矩阵――广义的数

矩阵的定义是一个数表，但是也可以理解为数的概念的一种推广。因为矩阵也定义了加减乘等运算，对于可逆矩阵还有求逆的运算。特别地，对于一行一列的矩阵来说就是我们通常意义的实数或复数。所以，用这个思路来理解矩阵这个概念就会觉得很自然。另外要注意的一点就是矩阵做为一种新的广义的数，当然具有一些自己独特的性质。如矩阵乘法的交换律，消去律等等已经不再恒成立。这些正是学生需要加以学习和辨认的。当学生对数的概念放宽以后，就可以继续说线性变换甚至更广的函数都是数的概念的推广。从而形成对数的认识发展的理论结构。或者说另外的一种“道可道，非常道”抽象上去的理论结构。参看下面的图3。

图3表明人类对数一种认识的过程。

四、矩阵的核心――矩阵的秩

矩阵的秩是一个较难消化的概念，但又是一个非常重要的概念。对矩阵的秩的理解直接影响到对整个教材的理解。在学生通过学习由K阶子式所导出的矩阵的秩的定义之后，把求矩阵的秩转化为求阶梯形矩阵非零行的行数显得很重要。对于一个具体的线性方程组来说，其所对应的增广矩阵的秩就是方程组中“有用”的方程的个数。也就是说，其增广矩阵对应的阶梯形矩阵中的零行所对应的方程组中的线性方程的存在与否对方程组的解没有任何影响。即零行对应的这些线性方程是“无用的，表面的”！因此通过化矩阵为阶梯形求矩阵的秩的过程，实际上就是对线性方程组的一个化繁为简的过程，去粗取精的过程！这样一种结构事实上就是在线性方程组的集合与矩阵的集合之间建立了一种一一对应的关系之后，把对线性方程组的研究彻底的转化为对矩阵的研究。这是进行数学研究的根本方法。

五、初等变换――“照妖镜”

在用消元法求解的过程当中，我们会用到初等变换。此时，初等变换把一个方程组变成同解的另外一个方程组，在这个过程当中，原方程组形式上变得简单了，但是方程组的解集合不会改变。在把矩阵化为阶梯形矩阵的过程当中，我们同样会用到初等变换，此时矩阵形式上也变得简单了，但是矩阵的秩不会改变。而从阶梯形矩阵我们一眼就可以看出矩阵的秩。所以线性代数用一句话来说就是研究线性方程组，矩阵，向量组，以及二次型等等在初等变换下不变的那些性质。这样一种结构就能把各个知识点串起来，让学生达到融会贯通的效果。

六、两个重要概念――线性相关与线性无关

线性代数里面有很多重要的概念，线性相关与线性无关无疑是其中的两个。这里，一个简单的命题是含有零向量的向量组线性相关。因为我们可以取零向量的系数为1，其他向量的系数为零，从而得到一组不全为零的组合系数。这个命题的逆命题显然是不成立的。与此同时，在各种版本的教材中还会有这样的一个定理：一个向量组线性相关等价于该向量组中存在一个向量被其余向量线性表示。我们说能够被其余向量线性表示的向量在某种意义上在这个向量组里面是多余的或者说没用的――在线性方程组里，去掉这个向量所代表的那个线性方程对原方程组的解不会有任何影响，而在某个矩阵里，去掉该向量所代表的行也不会对矩阵的秩有任何影响。在这样一种意义下，我们甚至可以把这样的向量――能够被其余向量线性表示的向量――看成零向量。因此，线性相关的向量组表面上不含有零向量，但本质上还是含有零向量的。认识清楚这一点，我们就可以透过现象，看到本质！从而也能得到线性代数中另外的一个理论结构。那就是从任何一个向量组出发，通过反复去掉其中多余的向量――能够被该向量组剩余向量线性表示的向量，我们可以得到原向量组的一个极大线性无关组；而通过反复添加多余的向量――能够被该向量组线性表示的向量，就可以直达向量空间这个概念。

七、矩阵的应用――二次型

大部分教材最后一部分往往涉及到实对称矩阵的一个应用，即利用已经得到的有关实对称矩阵的对角化的理论，来化一般二次型为标准二次型。因此纵观整个教材，很好的体现了从实践上升到理论，最后又用理论来指导实践这一创造美好世界的原则。参见图1.

图4为线性代数课程的另一种理论层次结构：表明理论来源于实践（指从解线性方程组中所得到的矩阵理论）之后又可以用于指导实践（指用矩阵理论解决二次型的标准化问题）的哲学思想。

扎根于对教材的深入理解，能得到许多的理论层次结构。既有关于整个教材的，也有关于某个知识小块的。许多结构都还有待于我们去继续发现。本文旨在起个抛砖引玉的作用。鉴于各种抽象的过程，借用《道德经》里面的一段话来结束全文：道可道，非常道，名可名，非常名。无，名天地之始，有，名万物之母。故常无，欲以观其妙；常有，欲以观其缴；此两者，同谓之玄。玄之又玄，众妙之门！

参考文献

[1]同济大学数学教研室.线性代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005

[2]张军，戴霞.浅析注重思维培养的线性代数教学方法[J].高等教育研究，2007，24（4）：29～31

[3]李佩泽.对线性代数中线性方程组教学的实践和体会[J].高等教育，2007，14：21～23

[4]丁巍.浅谈“线性代数”教学中的美育[J].高等数学研究，2008，11（4）89～90

[5]赵慧斌.问题驱动是线性代数有效的教学法之一[J].高等数学研究，2008，11（4）：91～94

[6]刘学质.线性代数课程体系与教学原则[J].高等数学研究，2008，11（4）：95～105