二次函数在高中数学中地位与作用

【中图分类号】G63.3 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）20-0-02

在初中教材中，对二次函数作了一定的介绍，由于初中学生基础薄弱，数学素养较低，受其接受能力的限制，这部份内容的学习多半是机械式的重复讲解与练习，很难从本质上加以理解。高中数学教材对函数的基本概念和基本性质做了比较系统的介绍，要求学生对函数知识有比较灵活应用。正如《高中数学教学大纲》所指出：在数学教学过程中要注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力，努力培养学生数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断。可以说，函数的思想、方法贯穿于整个高中数学教与学，其中，二次函数有着基础性的地位和作用，任何时候都不可轻视。

一、利用二次函数可以进一步理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又可表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

问题I：已知?（x）=2x2+x+2，求f（x+1）

这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

问题Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）

这个问题应理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：

方法1.把所给表达式表示成x+1的多项式，f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再把x+1整体代换为x，得f（x）=x2-6x+6。

方法2.变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用：令t=x+1，则x=t-1

（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6，从而f（x）=x2-6x+6。

通过对这些问题的分析、解答，有助于学生正确理解函数的概念。

问题Ⅲ：设f（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t），求：g（t）的解析式并画出y=g（t）的图象。

解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时?（x）取最小值-2。

当1∈[t，t+1]即t≤1，g（t）=-2，当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t-1，

当t

从而，，图像略。

在解决这些问题时，首先要让学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集R上只有最小值或只有最大值，但当定义域发生变化时，函数取最大值或最小值的情况也随之变化，可能不再是一个确定的数值，而且，也可能既有最大值，又有最小值，还可能既没有最大值，也没有最小值。通过这样的训练，学生对的最大值或最小值问题就有更全面的认识。

二、利用二次函数的性质与图象可以解决非基本函数、不等式的相关问题

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在单调区间（-∞，-]及[-，+∞）上的单调性的结论有深入理解，与此同时，利用函数图象的直观性，观察函数的单调性与最值，使学生逐步自觉地养成利用函数图象学习有关的函数性质的习惯，培养他们数形结合的数学思想。

问题Ⅳ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性和最值。

（1）y=x2+2|x-1|-1（2）y=|x2-1|（3）=x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数表示（即零点分段法），然后画出其图象，通过图像，读出相关函数的相关性质，包括它的单调性与最值。

问题Ⅴ：已知不等式x2+ax+1≥0在上恒成立，求a的取值范围。

解：二次函数f（x）=x2+ax+1的图像开口向上，对称轴是直线x=-，且过点（0，1），①当-≤0，即a≥0时，对称轴是y轴或在y轴的左边，f（x）=x2+ax+1在是增函数，f（0）=1，故x2+ax+1≥0在上恒成立;②当0<-≤时，对称轴在直线x=与y轴之间或是直线x=，要使x2+ax+1≥0在上恒成立，只需f（x）=x2+ax+1的图像与x轴最多只有一个交点，≤0即可，此时a应满足，即-1≤a<0;③当->时，对称轴在直线x=的右边，f（x）=x2+ax+1在是减函数，要使x2+ax+1≥0在上恒成立，只需，即。综合①、②、③可知a的取值范围

是a>。

充分利用二次函数的图像与性质可以更好地解决二次不等式的有关问题，既培养了数形结合的思想，又有利于分类讨论思想的形成，充分体现了二次函数的基础性地位。

三、利用二次函数知识的灵活应用，可以深入地培养学生的数学思维，提高学生的数学能力与修养。

问题Ⅵ：设二次函数f（x）=a+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的两个根、满足0<<<。（1）当x（0，）时，证明：x<f（x）<。（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：<。

解题思路：本题要证明的是x<f（x），f（x）<和<，由题中所提供的信息可以联想到：①f（x）=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程f（x）-x=0可变为a+（b-1）x+1=0，它的两根为，，可得到，与a，b，c之间的关系式，因此解题思路明显有三条：①图象法;②利用一元二次方程根与系数关系;③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例分析、解答这道题。

分析：（1）.方程f（x）-x=0的两个根，，所以构造函数，当x（0，）时，利用函数的性质推出x

证明：（1）令F（x）=f（x）-x。因为，是方程f（x）-x=0的根，所以

F（x）=a（x-）（x-）。当x∈（0，x1）时，由于0，又a>0，得F（x）=a（x-）（x-）>0，即x

-f（x）=-[x+F（x）]=-x+a（-x）（x-）=（-x）[1+a（x-）]因为00.由此得f（x）

2 依题意知x0=?，因为，是方程f（x）-x=0的根，即，是方程a+（b-1）x+c=0的根。

，

因为

本问题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，深入考查了学生的函数思想和方程思想，同时考查了学生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，对这个问题的解答，可以比较全面反映学生的思维层次，可以更好地培养学生思维。

二次函数，它有着丰富的内涵和外延，作为一个最基本的初等函数，我们可以用它为代表来研究函数的图像和性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，从而培养学生的数学思维和数学能力。