浅谈极坐标系下的二重积分的计算

摘要：考生在高等数学学习过程中应注重对基本概念的理解和掌握，只有这样，才能灵活掌握各种基本概念的性质和相应的计算公式，本文以一道2012年全国硕士研究生入学考试高数试题为例，指出了极坐标系下二重积分计算应注意的四个环节。

关键词：二重积分；极坐标；变换公式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0260-02

二重积分的概念和计算是高等数学课程学习的一个主要内容，是学生后续课程学习中用得最多的数学工具之一，而利用极坐标计算二重积分又是这一部分内容学习的重点和难点，也是每年研究生入学考试的热门考点，本文将以一道2012年全国硕士研究生入学考试数学二中的第18题为例，指出极坐标系下二重积分计算应注意的四个环节。

例：计算二重积分■xyd?滓，其中区域D为曲线r=1+cos?兹（0≤?兹≤?仔）与极轴围成。

解：第一步：画出积分区域D的草图。

第二步：写出二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，即

将x=rcos?兹y=rsin?兹，d?滓=rdrd?兹代入到■xyd?滓中，得

■xyd?滓=■rcos?兹·rsin?兹·rdrd?兹=■r3cos?兹sin?兹drd?兹

第三步：化为两次定积分。①把D用极坐标（r，?兹）表示。先确定θ的范围，即寻找由极点出发与D相交的射线与极轴的夹角θ的范围，容易得0≤?兹≤?仔。再确定的范围，过极点作射线穿过区域D，设此射线与极轴夹角为θ，此时射线与区域D相交的部分的点到极点的距离最小是0，最大距离是1+cos?兹，于是得的范围为0≤r≤1+cos?兹。于是可得D={（r，?兹）|0≤?兹≤?仔，0≤r≤1+cos?兹}。②化为两次定积分，先对r后对?兹，即

原式=■r3cos?兹sin?兹drd?兹=■d?兹■r3cos?兹sin?兹dr

第四步：进行两次定积分运算

原式=■■（1+cos?兹）4cos?兹sin?兹d?兹=-■■（1+cos?兹）4cos?兹dcos?兹

t=cos?兹-■■（1+t）4tdt=■■（1+t）4tdt=■■（1+4t+6t2+4t3+t4）tdt=■■4t2+4t4dt=■

。

显然，这是一道基本的题型，考察考生是否掌握了利用极坐标计算二重积分的变换公式、化二重积分为两次定积分及一元函数定积分的换元法，这也是大部分老师讲授这一部分内容时选讲的题型，但大部分考生都没拿到满分，究其原因，以上四步任何一个环节出错都会导致失误。第二步容易出的错误有两种，一种是将x=（1+cos?兹）cos?兹y=（1+cos?兹）sin?兹代入了■xyd?滓中得

■xyd?滓=■（1+cos?兹）cos?兹·（1+cos?兹）sin?兹·rdrd?兹

错误的原因是积分区域D是由曲线r=1+cos?兹和极轴即x正半轴围成的闭区域，点（x，y）不仅仅在曲线r=1+cos?兹上变动，而是在整个闭区域D上变动，当点（x，y）在曲线r=1+cos?兹上时，满足x=（1+cos?兹）cos?兹y=（1+cos?兹）sin?兹，当点（x，y）在区域D内部时，就不满足x=（1+cos?兹）cos?兹y=（1+cos?兹）sin?兹了，所以将x=（1+cos?兹）cos?兹y=（1+cos?兹）sin?兹代入被积函数中是错误的。正确的是将x=rcos?兹y=rsin?兹代入；另一种错误是将d?滓=drd?兹代入到■xyd?滓中，这是学习利用极坐标计算二重积分时学生最容易出错的地方，正确的是直角坐标系下二重积分的面积元素d?滓是极坐标系下面积元素的r倍，即d?滓=rdrd?兹。第三步容易出错的地方是把r的积分范围确定为0≤r≤2，没有注意到r的范围是随着?兹的变化而变化，正确的是0≤r≤1+cos?兹。第四步的出错反映了考生对一元函数定积分的各种性质和定积分计算的各种基本方法掌握得不够熟练灵活，比如利用被积函数的奇偶性和积分区间的对称性简化积分运算，定积分的第一、二换元法等。由以上分析可见，极坐标系下二重积分的计算关键是掌握以上几个环节，而要掌握它们，最关键的是理解二重积分的概念以及变换公式中变量之间的关系。由此可见，考生在高等数学学习过程中应注重对基本概念的理解和掌握，只有这样，才能灵活掌握各种基本概念的性质和相应的计算公式，同时考生还应加强一元和二元函数积分计算的各种基本方法训练，最终无疑会提高考生自身的逻辑思维能力和数学素养。

参考文献：

[1]王景克.高等数学解题方法与技巧（第三版）M].北京：中国林业出版社，2001.

[2]同济大学应用数学系.高等数学下册（第五版）M].北京：高等教育出版社，2002.

作者简介：袁士梅（1977-），河南安阳人，中教一级，主要研究方向：数学的教学研究。