数学概念教学应关注概念的背景

因式分解在初中数学学科当中具有十分重要的作用，它是学生后续代数学习的基础。在已有的教学经验中，学生在学习完这部分内容后，都能说出什么是因式分解，他们对因式分解概念本身和因式分解的具体操作几乎不成问题，但很少有人问为什么要学习因式分解，它有何重要性。

数学教育理论认为数学概念教学应该注重概念产生的背景、提出（引入）过程等环

节[1];数学概念学习APOS理论模型认为学生学习数学概念进行心理建构的第一阶段就是操作或活动阶段[2]，即在一定背景下引入概念;在教科书的演变过程中，因式分解内容也从讲解式发展到启发式，尤其注重从实际的例子引入，以便学生理解[3]。不难看到，概念的背景和引入是概念教学非常重要的起步。至此，笔者将因式分解概念的背景介绍和引入作为备课的重点之一，让学生通过这节课体会因式分解概念学习的必要性和重要性。

一、基于概念背景的因式分解教学设计

为更好地引入因式分解这一概念的背景，笔者进行了如下的教学设计片段：

二、基于概念背景的因式分解思考

笔者将课程的引入设计为以上三重思考，通过一些例子来渗透因式分解这一概念的必要性和重要性，让学生在一个大的背景下学习因式分解概念。

1. 因式分解与学科内容的逻辑关系

因式分解是对整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系。因式分解是后续学习分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具。因此，“思考1”的设计是想让学生体会到因式分解和后续学习的密切关系。笔者选择从分式化简的角度来引导学生思考，学生通过和很容易想到了要想化简，只需要将分子 写成乘积的形式。

2. 因式分解与实际应用

“思考2”展示了长方形草坪和长方体纸盒的设计问题：当长方形草坪的面积一定时，如何设计它的长和宽，当长方体包装盒的体积一定时，如何设计它的长、宽、高。尽管这样的设计不唯一，但学生通过12=4×3和ab=a b也容易想到将a2-b2写成两个式子乘积的形式，将a3+2a2b+ab2写成三个式子乘积的形式，这样的问题让学生切实感受到生活中的一些实际问题也需要用到“将某个式子写成乘积的形式”，同时让学生感受因式分解有其几何背景。

3. 因式分解与思维训练

在评课活动中，老师们曾提到，“思考1”和“思考2”的设计是在他们意料之中的，但“思考3”的设计在他们意料之外。有老师问到，这样的问题学生在学完本课之后能解决吗？笔者认为“思考3”的设计目的并不是让学生一定会对n4+4进行因式分解，而是想让学生感受因式分解在数学史中的地位和作用，同时用这样一个数学史的问题引起学生的兴趣和思考，带着这个问题学完本章，在章节结束时顺其自然地解决这个问题。在实际授课过程中，笔者感受到学生对“思考1”和“思考2”的回答很流畅，而对“思考3”的回答就没那么顺畅了。笔者提示学生从具体的数入手计算，学生们行动起来，并把得到的数进行质因数分解，说明它是合数，也由此想到了是否能把n4+4也写成一些式子乘积的形式。

三、小结

至此，学生已经对“把某个式子写成乘积形式”这一变形的印象非常深刻了，此时提出因式分解的概念便水到渠成。后续教学过程就是围绕因式分解与整式乘法是互逆变形的关系归纳概括因式分解的概念，然后辨析概念，最后讲解了一种因式分解的基本方法―提公因式法。在本课的最后，笔者又回到了课程起始的三个思考，学生恍然大悟，要解决这三个问题，其实就是对a2-b2、a3+2a2b+ab2和n4+4进行因式分解。

整堂课下来，学生给笔者的感觉是他们多多少少体会到了学习因式分解概念的必要性，概念的产生也没有那么突兀。这使笔者感到这样的思考和备课是很有意义的。回顾已有学者、研究者对数学概念教学的研究，我们看到，概念的背景和引入虽然只是概念教学的一部分，但它却是概念教学非常重要的起步。在数学教科书的演变过程中，我们洞察到因式分解概念教学越来越注重从实际例子引入，从大的背景出发，启发学生思考，使概念在课堂中的产生顺理成章。

概念的背景也许并不止这些，但只要教师在教学时或多或少地设计一些有关概念背景的教学并持之以恒，就能对学生的学习和教师的成长大有裨益。

参考文献：

[1]李善良. 数学概念学习研究综述[J]. 数学教育学报， 2001（8）：19-22.

[2]鲍建生， 周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海： 上海教育出版社， 2009： 380.

[3]张伟， 代钦. 代数教科书中的“因式分解”沿革研究[J]. 数学教育学报， 2011（4）： 94-97.

（作者单位：北京汇文中学）