基于数学思想方法的智慧教学二三事

摘要：培养学生基本数学思想、积淀学生的数学素养、启迪学生智慧是小学数学教育的核心价值目标。教师应在教学中充分地分析和挖掘教材中隐性的数学思想，在教学设计中加以体现；采用多样的教学策略和方法在教学过程中有效渗透，以启迪学生智慧，让学生在学习数学知识的同时养成善于用数学的眼光观察现实世界，善于用数学的思想方法分析问题、解决问题的意识和能力，具备较高的数学素养。

关键字：思想；智慧；教学

小学数学教育给孩子带来的决不仅仅是知识，更重要的是智慧和能力。“教什么永远比怎么教更重要” [2]。我想这里的“教什么”不仅是知识与技能，更重要的是数学的思想、方法、能力、素养。数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法， 是指某一数学活动过程的途径、程、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想方法、是数学的灵魂，也是数学学科区别于其他学科最鲜明的标志。我国建国以来的小学数学相关的标准和规定，从1950年的《小学算术课程暂行标准（草案）》到1986年的《全日制小学数学教学大纲》再到今天的《义务教育数学课程标准（2011版）》[1]是一部部描述重视数学思想，开发学生智慧主张轨迹的教育史。在新课标中数学思想做为十大核心概念被提到了从未有过的高度，小学数学知识教学中蕴含的数学思想方法很多，新的课程标准认为基本的数学思想有三类：抽象、推理和模型思想。培养学生基本数学思想、积淀学生的数学素养、启迪学生智慧是小学数学教育的核心价值目标。

下面，本人以人教版教材为例，立足于一线小学数学教育教学，探究基于数学思想的智慧教学的策略和方法一二，探讨如何构建思想、厚实、智慧的新型数学教学景观。

一、着眼数学思想 智慧预设学案

在小学数学教学中渗透数学思想方法有利于深刻地理解数学的内容和知识体系，有利于提高学生的数学素养，有利于教师以较高的观点分析处理小学教材。在小学数学教材中，数学思想方法似一张无形的网分布于数学知识的每一个章节，由点成线，连线成面。智慧预设学案就要是根据教学目标，在分析教材和学生的基础上，充分的挖掘数学思想，有效地渗透在数学教学的环节之中，形成教与学的预案。如小学一年级《6、7的认识》中教材呈现了六名小朋友和一位老师做卫生的情景图，情景图下面左边是六位小朋友的头像六个小圆片数字“6”六根小棒；右边是六位小朋友的头像加一位老师的头像七个小圆片数字“7”提示用7根小棒摆，教材的设计从实际情景引入，选择信息图片数学符号解释符号，经历了由具体到抽象的横向数学化地过程。教师要读懂教材，在充分挖掘教材的基础上利用教材，渗透相应的符号化思想、让孩子经历由具体到抽象的思维过程。 有些数学教师特别是新教师，在解读教材时不能很好的参透教材的意图，随意的简单化，造成了孩子表面上学会了，但隐性的能力和智力得不到很好的启迪和开发。

王永老师提出“五年级《长方体和正方体》的认识教材中呈现的是由横向数学化，并通过让学生数，填写表格来认识长方体的各种特征。能否改变一种思路，由概念出发，通过演绎和推理，认识长方体的各部分特征（12条棱，分3组，每组4条；8个顶点）？”如果能在横向数学化的同时，进行纵向数学化的渗透，在学生观察操作的基础上让学生由发现长方体是由6个长方形围成的图形，这6个长方形两两相连，形成共同的边即棱，因此24条边演变成12条棱，3个长方形有一个共同的顶点，也就24个顶点变成8个顶点。这是不是能让我们的数学多了一笔绚丽的思维色彩，更有数学味！

综合上述两例，在教学前，教师要对教材进行合理取舍，特别是关注和解读其中蕴含的数学思想方法，凸显基础知识与基本能力的加工预设，使三者有机结合，适合小学生的年龄特点和性格特征；彰显数学思想的预设、加工与提炼。使得整个课堂教学厚实而灵动、凸显数学味的、有利于智慧的启迪。

二、关注数学思想 智慧驾驭课堂

具有浓郁数学思想的数学课堂是学生智慧生长的良田沃土。以数学思想为主线的智慧地教应具备以下几个特点：恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述；科学组织课堂活动并注重引导数学知识和活动经验的总结和提升以利于学生进行抽象和推理；启发学生灵活运用知识解决问题，以促进学生进行有效建模；创造科学、艺术、高效、充满张力与活力的课堂，与学生进行智慧互动。

1.有机渗透数学思想 启迪智慧

南京师范大学数科院教授刘云章教授认为：“不讲数学思想方法的课，不是好课。”“重视对数学思想方法的领悟将能唤起数学学习者潜在的数学天赋，提高其数学素养，从而提高学习效益和质量。”教学中重视数学思想方法，就相当于抓住了小学数学知识的精髓.小学数学每一堂课中，要不失时机地依据教学内容和小学生的心理特点与学习规律，将数学思想和数学知识有机的融为一体，有效的进行渗透性教学 ，启迪智慧，积淀数学素养，以实现数学教育的核心价值。

如人教版五年级上册《解方程》这节课中，有一位教师设计了一下教学内容。首先出示

（1）课件出示例1图，你能根据这幅图列一个方程吗？学生列出：χ+3=9

（2）让学生在练习本上用画天平图来表示这幅图。

（3）反馈： （学生用小正方形来代表皮球，天平左边摆χ加3个正方形，右边摆9个正方形，天平两边平衡。）

师：要得出χ的值，在天平上应如何操作？（①一个一个拿掉的，两边各拿掉3个正方形，这样天平的左边只有χ，右边是6个小正方形，这样就得到了χ的值。②从天平左右两边同时拿走3个正方形，也能知道χ是多少）师根据学生的回答在图中表示出来。

（4）让学生把图上意思在方程中表示出来？独立练。反馈

引导学生说理由。

（5） 比较这两种方法你更喜欢哪种方法？

（6） 解方程要注意什么呢？（①要先在左上角写上解。②解方程的过程每一步都是等式，而且等号要对齐。③要判断方程的解是否正确，应该验算。）

（7）自学课本第58页，自己在课堂练习本上尝试进行验算。

以上教学片断一改过去方程教学的传统教法，重视由算理到算法的抽象和概括过程，让学生立足于数形结合，自己探索，自主发现，让学生经历了解决问题方法的多样化到对比、优化的过程，渗透了模型思想（方程思想、数形结合思想）、抽象思想（优化思想）等的教学、培养学生能力，充分体现了教师的智慧，也实现了智慧的启迪。

2.彰显数学思想地设问 点燃智慧

智慧课堂中教师的提问应是引发学生剥丝入茧，进行深层次思考的桥梁；是激发学生碰撞思维，点燃智慧火花的添加剂。不同于一般的数学设问的智慧型设问应是针对学习方法与思维方法的引导，如怎样从数学的角度去提取信息、提出问题；怎样进行迁移，利用旧知学习新知；怎样把复杂问题转化成简单的问题；面对问题如何分析，面对困难如何解决，促进学生辨析、帮助建模、提升思考、培养能力。上述案例《解决问题》在课后练习时通过以下三个追问帮助孩子建立解决问题的模型，渗透模型思想。“第1个4是谁？第2个4是谁？问题求什么？”

“我们要求的是哪一部分

要求这一部分也是先求……”

“要解决问题你用了几步？（两步）第一步求？第二步求？

之后在练习中不断的通过设计了这样教师引导的问题帮助孩子进行建模：问题：

（1）“该怎么求，先求什么？”（2）“为什么先求 ？”（3）这里的 “ ”这像例题中的 ？

有效的提问步步为营，彰显了教师引导建模的数学思想；有效渗透了对解决问题思考方法的巩固和深化，充分的体现了教师独到的教育智慧。

再如小学五年级《长方体和正方体的认识》在学生初步的探索认识了长方体后教师提出了几个问题：“如果想制作一个长方体框架需要什么材料？至少需要几根小棒？（12）”；“是不是任意的12条棱就可以搭出长方体的框架呢？带着这个问题，先在四人小组中讨论怎么搭才能又好又快的搭出长方体框架，和其他小组比一比看哪个小组最快制作成功。（小组合作完成，老师巡视指导）”学生汇报交流：在这个过程中揭示长、宽、高的定义。然后展示学生拼出的长方体框架，交流做法。师再追问：“如果现在老师拆掉其中的一条棱，你能想象出这条棱的位置和大小吗？比划一下。依据是什么？”“如果再拆掉一条棱呢？你还能想象出这条棱的位置和大小吗？”“还能再拆吗？如果老师一直拆下去，想一想，至少要剩下几条棱的时候，才能保证可以想象出这个长方体的大小？（3条。哪3条呢？）动手试试看。”（学生动手操作，并展示自己的思考结果）大组进行质疑交流，引导学生得出结论：只要剩下相交于一个顶点的三条棱就可以想象出这个长方体的大小。

课件演示，长方体框架的形成

师：像这样的相交于一个顶点的三条棱，在长方体中，它们还有各自的名称。

（看大屏幕） 课件显示：相交于一个顶点的三条棱的长度分别是长方体的长、宽、高。

课件演示：长、宽、高，并告知学生一般情况把底面中较长的一条棱叫做长，较短的一条棱叫做宽，垂直于底面的棱叫做高。

提问：12条棱可以分成几组长、宽、高？（4组）学生回答后课件演示验证

小结：长、宽、高这三条棱很重要，缺一不可，它们直接制约着这个长方体的形状和大小。这个教学环节在让学生了解长方体后做长方体框架，这既是对长方体特证认识上的加深，也是让学生在体验中进一步探索出长方体12条棱之间的关系，接着在拆棱的过程中，引出长方体长宽高的概念，通过辨析、想象等活动中明白长方体长、宽、高的重要性。

在这个教学片断中，教师通过巧妙的设计一系列的问题，步步深入，实现学生智慧间的深度交锋、引发学生思考和想象，并通过引导学生动手实践和动流，在思考中辨析、抽象、概括和归纳，渗透数学思想、习得方法、积淀素质。

3.凸显数学思想方法地练与评 形成智慧

有效的练习设计是智慧课堂一个重要的组成部分，它是学生把所学到的知识一般化的过程，即运用所学知识解决相应问题的具体过程，也是学生知识深化和巩固的环节。在教学中，可根据教学的内容以及学生已具有的数学活动经验，设计更能让学生主动探索、实验、思考与合作为主的作业，使学生在解决问题中成为一个问题的探索者。有效的练习不仅应注意练习设计的层次性、科学性、构造性、发展性，而且要蕴含丰富的数学思想方法，重视思想方法的反馈和引导，精选题目、提炼方法，让学生具有运用技能娴熟解题的能力，才能达到提升学生智慧的预期目标。如《解决问题》练习设计：

出示小兔庄园的综合情景图

（1）指导看图“从图中你知道了哪些数学信息？”。

（2）开展一个学生提问题其他学生解决问题游戏：根据提供的信息，你能提什么数学问题，老师想给提出问题的同学一个权力，你想请谁来解答你的问题就请谁！

（3）一个学生提问题全班解答：你能提用两步解答的数学问题吗？先让学生自己独立思考，再同桌交流反馈、教师根据学生所提的问题选择性的板书、全班齐练。选择板书问题：

兔爸爸和兔哥哥共拔15棵白菜，他们对兔妈妈说“我俩的总数比你多5棵”，“三只兔子共……？”

方法：齐练反馈：你是怎么想的？教师巡视，反馈正误两种方法。追问“为什么有‘多’却用减法算呢？”想的时候可以借助画草图。复习“知道什么？怎么解答解答正确吗？”的解题步骤。

15-5=10（棵）

15+10=25（棵）

菜园的周围种了桃树和苹果树2种果树，桃树有8棵，苹果树比桃树多12棵，一共种了多少棵果树？

方法：齐练展示不同做法，借助草图帮助学生思考本道题除了可以根据前面的做法还可以有什么方法？

（8×2+12=28）说思路。

以上练习通过设置综合情境，培养学生善于从多元信息中选择有用得信息，发现问题、提出问题，分析问题、解决问题的能力，帮助学生由“两能”顺利的过渡到“四能”。先开展“一个学生提问题其他学生解决问题游戏”在课的后半段时间里根据中年级学生的心理特点活跃气氛，培养兴趣，调动学习的积极性又是为底下的提问题活动提供示范。学生在这一环节提的问题由于时间短多半为一步的比多比少的问题，其他学生解答时能比较顺利，同时也进一步强化了本节课里中间问题的解决。第二个环节的提问题活动让学生去除表像掌握本质，进行建模，巩固已学知识，并尝试利用数形结合的思想借助画草图解决问题；突破定势思维，学会举一反三，类比推理。此练习设计融趣味性、实效性、开放性、层次性、思想性于一体，有效地促进学生思考和探索，培养能力。

三、基于数学思想 智慧探究

凸显学生的主体地位是任何数学课堂应共同遵循的准则，基于数学思想的智慧课堂也不例外，教师在教学的过程中要提供探究的平台和空间，引导孩子积极的投入到学习的整个过程中去让学生利用已有的知识和方法进行迁移、进行类比，尝试解决问题。

1. 运用数学思想经历数学化

智慧的课堂中应实现温柔地翻转，通过个体的探究和同伴的交流使学生深入到知识的本质进行数学化的思考，运用归纳、概括、总结进行横向数学化思考；运用类比、推理、联想进行纵向数学化的思考，从而让学生习得数学思想、积淀素养、培养后劲 。孙晓天教授曾经说过：“没有数学化的数学教学、没有给学生提供自己探究和思维空间的教学不是真正有效的教学。”如在《分数的基本性质》教学中一开始便复习商不变的性质，为学生的迁移、类比（纵向数学化）埋下伏笔。接着教师出示几张图片，讲述唐僧分饼的故事：有一天，唐僧拿了三块大小一样的饼分给徒弟吃，他先把第一块饼平均切成2块，分给孙悟空1块。八戒见了说：“我要比大师兄多。”唐僧第二块饼平均切成4块，分给八戒2块。八戒嫌少不要，于是师傅把它给了沙僧。接着唐僧把第三块饼平均分成8块，给了八戒4块。聪明的同学们，你们知道悟空为什么笑吗？然后教师引导学生以小组为单位，拿出事先准备的三个大小相等的圆形纸片来，分别用阴影部分表示每个圆片的 再引导比较阴影部分的大小进而推出这三个分数大小相等。板书出示： 。在这个环节中教师借助于学生熟悉的故事情节，引出数学问题，实现横向数学化的过程。

在此基础上引导观察对比，组织小组讨论：这三个分数的分子、分母都不相同，但是它们的大小完全相同，这里会不会藏着什么规律呢？仔细观察：它们的分子、分母各是按照什么规律变化的呢？

小组通过讨论，相互评价补充，归纳和概括出这三个分数的变化规律。

进而教师再引导孩子举例验证 （这里的“相同的数”不但可以是整数，也可以是小数或分数），之后让孩子自己将这两个规律进行归纳总结，全班反馈交流。学生通过抽象、归纳得到分数的基本性质；教师再引导反思：你认为在这个性质中哪个词最关键？学生观察发现关键字：“同时”，“相同的数”，“0除外”并进行自发式的交流说理。最后将它与商的不变规律的建立联系，再举例说明。最后让学生运用了分数的基本性质，把一个分数化成分母不同而大小相同的分数。

以上环节中教师巧妙地借助原有的知识基础——商不变得性质让学生进行类比演绎，再引导学生在观察、分析、交流、讨论的基础上，通过归纳和概括，实现认知上的飞跃，实现纵向数学化，获得新知。整个过程是经历横向数学化和纵向数学化地过程，凸显数学思想，具有足够的思维容量，课堂显得厚实又不失灵动。

2.立足基本思想，促进形式化

数学教学中教师在实践活动或重要的教学环节之后，引导学生让学生用个性化的语言来描述自己的发现，经历形式化的过程。有意识地创设问题促进学生的反思，反思自己的解题过程、解题思路，使学生对自己的判断与活动及语言表达进行思考并加以修正，让学生运用抽象、推理、建模三大基本思想建构数学知识与能力体系，这样的数学学习也才能真正触及数学思维的内在实质，才能使学生在比较、辨析和反思中，把感性的认识上升为理性的认识，把知识和方法内化为可灵活运用的系统，促进结构化，发展智慧。如《两位数乘两位数》的教学中，教师在出示例题24×12= 时可以让学生试着求得数，再反馈交流，学生的方法可能很多，方法一：24×10=240，24×2=48，240+48=288；方法二：24×6=144，144+144=288；方法三：24×6=144，144×=288；方法四：24×4=96， 24×8=192，96+192=288；方法五：用列竖式的方法（略）。有智慧的教师会一一的让学生说出自己的计算的理由，当用竖式计算的孩子说完理由之后，会适时地提问其他的孩子“你听清楚他说的理由吗？你再来说以说”，这样的提问可以重复一至两次，让孩子通过倾听同伴的话语理解本节课的知识重点——竖式计算的算理，然后再比较这些方法当中哪种方法比较简便，在算法多样化地基础上引导优化。促进学生进行反思和比较，进而引导学生发现“方法一”和“方法五”的算理是一样的，只不过书写的方法不同而已，然后让全班的孩子都用列竖式的方法算一算，再进行反馈和讲解，以保证全班80%的孩子都能掌握这一基本的计算方法。紧接着让孩子进行模仿练习并反馈，再引导孩子观察板书中的例题和练习，反思整个计算的过程，并和同伴交流两位数乘两位数的方法，进行抽象和概括，推理和建模，获得算法。在这个教学过程中教师不断地设计引导学生反思和对比的环节，让学生在和自己对话、和同伴对话的过程中实现经历算理的探索和算法的概括和提升，学生在扎实掌握算法的同时三大基本思想也得到有效地渗透，思维能力和水平将获得长足发展，积淀数学素养，习得智慧。

构建思想、厚实、智慧的新型小学数学课堂教学景观是广大数学教师的美好心愿。在教育教学工作我们应大胆地实践，小心地求证，善于用智慧的眼光分析教材，备课，在课堂上尝试和学生进行智慧地对话，让孩子善于用数学的方法思维方法思考问题，解决问题，努力促进学生的数学智慧、数学素养等的提升，实现师生共赢，福慧双增！

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部制定﹒义务教育数学课程标准（2011）版﹒北京：北京师范大学出版社，2011﹒

[2] 张奠宙 赵小平﹒教什么永远比怎么教更重要﹒华东师范大学《数学教学》2007年第10期

[3] 梁秋莲﹒让学生在数学学习中获得数学的基本思想﹒小学数学教育﹒2012﹒3

[4] 郑毓信﹒国际视野下的小学数学教育﹒北京：人民教育出版社，2003﹒

[5] 王永春﹒小学数学思想方法梳理（二）﹒小学数学教育﹒2010﹒3