试论“一次函数”的解题方法

摘 要：一次函数要审清题意，结合图形，意会图形提供的信息来解题，是近几年中考出现的新题型。这种题目图文并举，文为图作说明，图为文塑精神，综合考查了学生读图与审题的能力，是一类看上去难于下手但其实不难的中等题。

关键词：“一次函数”；方法

例1.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系.

根据图象进行以下探究：

信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；

（2）请解释图中点的实际意义；

图象理解 （3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

问题解决

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

分析：图示中的纵轴y是表示两车之间的距离，所以一开始的900km就是甲乙两地的距离。然后两车相向而行，两车之间的距离越来越小，到4小时止两车之间的距离为0，即两车相遇。之后两车背离而行，两车之间的距离越来越大，到C点时快车到达乙地停车，两车之间的距离只有靠慢车去拉开，所以CD的坡度更缓。到D点时慢车也到达甲地停车，两车之间的距离又恢复为900km.

解：（1）900；

（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇.

（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为■=75km/h；

当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为■=225km/h，所以快车的速度为150km/h.

（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶■=6（h）到达乙地，此时两车之间的距离为6×75=450（km），所以点C的坐标为（6，450）.

设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把 （4，0），（6，450）代入得0=4k+b ①；450=6k+b ② 根据①②解得k=226，b=-900。

所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为

y=225x-900.

自变量x的取值范围是4≤x≤6.

（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h.把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5.

此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75（h），即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.

例2.甲乙两车同时从A地前往B地.甲车先到达B地，停留半小时后按原路返回.乙车的行驶速度为每小时60千米. 下图是两车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象.

（1）请直接写出A、B两地的距离与甲车从A到B的行驶速度.

（2）求甲车返回途中y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（3）两车相遇后多长时间乙车到达B地？

分析：图示中的纵轴y是表示两车离出发地A地的距离，甲乙两车又都是从A地前往B地（同时），随着时间的推移y值都增大，并且快车的y值增大得更快，所以坡度更陡的线是快车跑的，坡度更缓的线是慢车跑的，明白了这一点，也就很容易判断A、B两地的距离就是450千米。快车花了4.5小时到达B地后，停留半小时，所以离出发地A地的距离y保持水平，y不变。停留半小时后按原路返回，快车的y值减小，与还在向B地开进的慢车相遇，两线相交点就是相遇点。而后快车继续回开，在10小时时刻回到A地，离出发地A地的距离变为0km。

解：（1）A、B两地的距离：450千米

甲车从A到B的速度：100千米/时

（2）设y=kx+b，把（5，450）、（10，0）代入上式得：

450=5k+b ① ；0=10k+b ② 根据①②解得k=-90，b=900。

y=-90x+900自变量x的取值范围是：5≤x≤10

（3）乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式为y=60x，

解：y=60x ①； y=-90x+900 ②根据①②解得x=6。

相遇后乙车到达B地需要时间为：■-6=1.5（小时）

从上面两个例题可以看出，关键是要牢记纵轴所表示的含义，结合图形，审清题意，看懂图示，找出图示中蕴含的意义，这样的题目便能迎刃而解，你便能体会到“柳暗花明”的乐趣。