浅析数形结合思想的应用

【摘 要】数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。

【关键词】数学结合;数学教学;思想方法

下面谈一谈数形结合的几种常见类型。

一、由数想形，直观显现

例1.设a、b是两个实数，A={（x，y）|x=n，y=na+b}（n∈Z），B={（x，y）|x=m，y=3m2+15}（m∈Z），C={（x，y）|x2+y2≤144}，讨论是否存在a，b，使得A∩B≠φ与（a，b）∈C同时成立。

分析：集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含义就是“存在a、b使得na+b=3n2+15（n∈Z）有解（A∩B时x=n=m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点（a，b）在直线L：nx+y=3n2+15上，且直线与圆x2+y2=144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。

解：由A∩B≠φ得：na+b=3n2+15;

设动点（a，b）在直线L：nx+y=3n2+15上，且直线与圆x2+y2=144有公共点，

所以圆心到直线距离d= 12

n为整数 上式不能取等号，故a、b不存在。

评注：集合转化为点集，而用图形进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。

二、用“数”说“形”

例2.已知曲线C1：y=3x+4x，曲线C2：y=5x，试判断曲线C1与曲线C2的交点个数。

分析：因难准确画出曲线C1的图象，因此通过直接观察C1与C2的图象而判断交点个数是难以解决。由y=3x+4xy=5x，得3x+4x=5x，两边除以5x，使方程的一边得到简化，得 x=1。联想指数函数的单调性即易得解。

解：由y=3x+4xy=5x，得3x+4x=5x。

易知x=2是方程的解。故曲线C1与曲线C2有一个交点。

评注：本题是一个有关“形”的问题，通过代数变换，即用“数”的方法，说明了“形”的道理。当然为使“数”具备较强的说服力，还可再用“形”辅助说明。

总之，数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面所举的例子中，可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合;应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。