一次数学课上“主持”的经历与反思

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）11-0017-02

1.　“主持”经历

在苏教版数学教材必修5第2.2.3节“等差数列的前n　项和”的课上，笔者在处理一道习题时，无意中当了一回“主持人”，课后仍然意犹未尽，特撰此小文，与读者共享。

问题：在等差数列an　中，已知Sn=60，S2n=48，求S3n的值

（先让学生展示，然后师生共同讨论）

生1：方法1：因为Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列，设其公差为D，则D=48-60-60=-72所以S3n-S2n=60+2D=-84所以　S3n=S2n-84=-36

方法2：由题设可设Sn=An2+Bn则由题设得An2+Bn=60（1）4An2+2Bn=48（2）　所以S3n=9An2+3Bn=3[（4An2+2Bn）-（An2+Bn）]=3（48-60）=-36

生1讲解方法1

生2提出质疑：由Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列，得2（S2n-Sn）=Sn+S3n-S2n，可直接求出S3n　（生1与全班同学一起鼓掌，祝贺方法3的“诞生”）

生3继续质疑：要不要先证明“Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列”这个结论？

生1：上节课不是证明过了吗？

师：可以将“因为Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列”改成“易证Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列”

生1继续讲解方法2

部分学生质疑：你怎么想到的？

生1（实话实说）：我也不知道。

师：这是直觉思维和整体运算能力结合的完美的结晶！事后来看，怎么能“自圆其说”？

生4：前面不是有2（S2n-Sn）=Sn+S3n-S2n吗？解出S3n=3（S2n-Sn）不就完了嘛！

师：万一事不凑巧，没有生2给出的“2（S2n-Sn）=Sn+S3n-S2n”这个结论呢？

生5：（在黑板上将An2，Bn　分别用圈圈起来）将An2、Bn分别看成整体，可得到两个等式，解出An2、Bn后再代入S3n=9An2+3Bn

师：方法4，精彩！那能不能将An2、Bn分别用“符号”来表示？

生5：设x=An2，y=Bn，则（1）（2）两式可化为x+y=60，4x+2y=48，然后解方程组，得x=-36，y=96后代人S3n=9x+3y。（掌声一片）

师：无意中，我们得到了解法5，。不过，我们还没有“自圆其说”呢！对于生1的方法2，能给个“说法”吗？

师：（进一步点拨）能否用“x+y”、“4x+2y”表示“9x+3y”？

生6：设9x+3y=m（x+y）+n（4x+2y），求出m，n

师：怎么求？

（学生思考）

师：整理成（m+4n-9）　+（m+2n-3）y=0　，如何？

（学生继续思考　）

师：对于9x+3y=m（x+y）+n（4x+2y），x，y可以取哪些值呢？

生：任意实数

师：既然这样，m，n怎么“做”（老师加重语气）才能满足（m+4n-9）x+（m+2n-3）y=0呢？

（学生思考　）

生7：只有m+4n-9=0，m+2n-3=0同时成立，易得m=3，　n=-3

师：对于这样的解释，你（生1）还满意吗？（全班鼓掌），下面我们一起将这6种方法整理一下。（略）从你的角度，你容易想到哪种方法？这6种方法又有哪些特点？

生8：最容易想到方法3，因为它用了等差数列的常用性质；方法2，不容易“配凑”出来；方法6是方法的改进，但感觉麻烦。

生9：我和生1的想法一样，用方法1完成了这个问题；方法4、5实际是同一种方法，用x、y分别表示An2、Bn，更好表达，也更好理解。

生10（未经同意，径直上讲台并板书）：我还有一种方法，由Sn=An2+Bn得　■=An+B，设A（n，■），B（2n，■），C（3n，■），则易知A、B、C　三点共线，所以　■//■，由条件知■=（n，■-■），■=（n，■），从而■-■=■，故S3n=-36

（过了一阵……一片惊叹声！）

生11：生8的方法还可以改进，点B是点A、点C的中点，由中点的坐标公式直接可得：2·■=■+■

师：8种方法了，哇噻！（学生狂笑）

生12：老师讲过，用a1、d表示Sn是通法，那这个题为什么不能？Sn=na1+■d=60（1）　S2n=2na1+■d=48　（2）　=3na1+■d（3）

师：让我们一起来帮助生10实现这个心愿，好不好？（生笑）

师：由（1）、（2）两式能求出n、a1、d的值吗？

生：必须有三个方程才能出n、a1、d的值。

师：解方程组的一般思路是消元，即将三个未知数先转化成两个未知数，再转化为一个未知数。这样来看，先“灭掉”谁？

生13：先消去na1，（2）式可化为：　na1+■d=24（4）

（3）式可化为：■=na1+■d（5）　由（4）式-（1）式得：　■=-36

再由（5）式-（4）式得：■-24=■　从而得S3n=-36

师：这是第9种方法了，非常好！受生10的启发，我突然有了这样的想法：等差数列的前n项和有三种表现形式：Sn=na1+■　Sn=An2+Bn，Sn=■前面两个都能够解决此题，公式Sn=■也应该可以，谁能圆我的这个“梦”？

生14：由题设知，Sn=■=60，S2n=■=24，■=■，

用类似方法9的处理方法就行了。

师：谢谢你！（大家鼓掌）10种方法了，有点乱，大家能不能根据等差数列前　项和公式的使用情况，将10种方法分分类？

生：等差数列前　项和公式有三种表达形式，故10种方法根据这个标准可分为三类：用公式Sn=An2+Bn解题的是前面的8种方法，用公式Sn=na1+■d的是方法9，用公式Sn=■的是方法10。

师：很好！这个问题就讨论到这儿。

2　.课后反思

2.1　关于“展示”

让学生先展示讲解，老师再组织讨论，是否是高效课堂的一个模式？从本节课来看，结论是肯定的。10种方法中，涉及了等差数列的所有重点内容，如：等差数列的定义、性质、等差数列前　项和公式的三种表达形式，另外也涉及了与向量有关的知识、中点坐标公式等；从涉及的数学方法上看，有配凑法、方程法、待定系数法、向量法、解析法等；从数学思想上看，涉及公理化思想、论证思想、符号化思想、方程思想、转化思想、函数思想、分类思想等；从数学文化上看，在本节课的活动中，师生平等、生生平等，共同完成了一场精彩的“演出”，体验了创造的激情，培养了师生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，发展了学生的创新意识和实践能力。课前备课，虽说也考虑了几种方法，但课堂上的收获却是大大地出乎意料的，使我进一步坚信：相信学生，大胆让他们激情展示，从学生的思维出发，做好我的服务工作，是构建属于“我和我的学生们的”高效课堂的唯一捷径！

2.2　关于“主持”

教师是课堂活动的组织者，是否能够像主持人那样，把作秀的时间和机会留给演员？在本节课的活动中，当学生的展示出现争论时，我没有一票否决，而是客观地理清思路，把权力还给学生，这是不是辩论节目中主持人的“做派”？　笔者舍得鼓励与赞美，在课堂活动中，通过亲切的问话、幽默的评价去调动学生的情绪，使学生自始至终积极主动地参与思考、讨论，相互启发、相互补充，这难道不是主持人的风范吗？

2.3　关于“遗憾”

如果在本课的问题前设置一个特例：在等差数列an　中，已知S4=60，S8=48，求S12的值，是否会更好？由于时间的限制，对于各种方法间的关系、优劣总结还不够充分。如果让学生完成“在等差数列an中，已知Sp=q，Sq=p，求Sp+q的值”，进行变式训练，效果又如何？由于教学进度的限制，无法将本题改为：在等比数列an中，已知Sn=60，S2n=48，求S3n的值，这是否是一个“遗憾”呢？至于完全从学生的思维出发，根据展示中暴露出的问题，和学生一起探究，放下老师的“身段”，忽略老师的所谓“主导”作用，是否又是一个“遗憾”呢？

参考文献：

普通高中数学课程标准（实验）　中华人民共和国教育部制订　2003年4月第一版