引导学生经历过程体验几何直观魅力

时间:2022-04-22 06:57:17

引导学生经历过程体验几何直观魅力

【摘 要】几何直观作为2011版课程标准新增的核心概念,教师应该尽可能强化几何直观教学、让学生经历几何直观图形的抽象过程,感悟这一过程中蕴涵的数量关系和基本的数学思想,从而充分利用几何直观来揭示研究对象的本质属性,使学生认识几何直观在数学学习中的深层次意义和作用。

【关键词】经历;几何直观;数形结合

《新课程标准》里提出几何直观主要是指利用图形描述和分析问题,借助它可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

一、引导学生经历“情境再现――结构图示――图形表示”的过程

本节课真正重要的是借用几何直观教学,让学生深入体验“一一对应”的数学思想,从而用对应思想统领课堂。在教学时尝试通过以下几个环节帮助学生理解。

第一环节,模拟情境。“植树节到了,四(1)班的同学们植了一行10棵树,为了美化环境,同学们又在每相邻的两棵树中间摆一盆花,一共可以摆多少盆?” 学生借用小棒、圆片拼摆或画图探究。(用表示树,用 表示花)

接着把树的棵树改为20棵、1000棵,让学生说出:“开头是树,结尾是树,一棵树对应着一盆花,一棵树对应着一盆花……最后一棵树没有花与它对应,所以树的棵树比花的盆数比多1”。也就是花分别有19盆、999盆。为了避免学生的思维定势,先摆花,再在相邻的两盆花之间种树。学生通过画图悟出:“开头是花,结尾是花,一盆花对应着一棵树,一盆花对应着一棵树…最后盆花没有树与它对应,所以花的盆树比数的棵树多1。”

通过这样的一个“种树摆花”的活动,学生借助于画图和“一一对应”的方法,就容易找到树的棵数与花盆数之间的关系,不知不觉中,学生从中体会到了“一一对应”思想的妙处,不管花盆数和树的棵数是多还是少,棵数与花盆数的个数始终相差1。初次渗透了“一一对应”的数学思想方法。

第二环节,结构图式。因为例题的数据较大,不方便学生画图,因此改变例题的数据:同学们在全长20米的小路一边植树,每隔5米栽一棵(两端要栽),一共能栽多少棵?学生尝试画图表示,引导学生用一一对应的思想说出:“开头是树,结尾是树,一棵树对应着一端5米长的路(即间隔长度),一棵树对应着一端5米长的路…最后一棵树没有路与它对应,因此,树的棵树比路的段数多1”。接着把路延长到100米,学生同样用这种对应的思想方法分析问题。对于“两端都不种”和“只种一端”都可以归结为用“一一对应”的方法解决。学生就不需要再死记公式,而是不管是什么的种法,都可以用一一对应的方法找到正确答案。

两端都不种时,画图如下:

引导学生发现说出:“开头是路,结尾是路,一段路对应着一棵树,一段路对应着一棵树…最后一段路没有树与它对应,因此,路的段数比树的棵树多1,所以树的棵树是4-1=3(棵)。

在只种一端的情况,画图如下:

因为开头的是树,结尾的是路,一棵树对应一段路,一棵树对应一段路…最后没有剩下的了,所以路的段数和树的棵数一样多。

第三环节,图形表象。所谓表象,即事物在人脑中形成的心理图式。几何直观教学不能仅停留于几何图形层面的运用,而应该帮助学生建立相关的几何表象。使直观、可视化的图形变成无形的空中比画痕迹和内隐的思维想象结果。因此,在解决植树问题过程中,灵活应用前面探究性过程中建立的图形表象,把植树问题的解决方法应用到路灯问题、锯木问题、排队问题、爬楼问题等等。只要找出问题中谁和谁是“一一对应”就能解决这些问题。如在锯木问题里,锯的次数和锯的段数一一对应;爬楼问题里,爬的楼梯数和楼层数一一对应;排队问题里,人数和间隔数一一对应等。学生依据表象,灵活地运用这一思想方法,在不断的运用中,“一一对应”这一思想方法逐步深入人心,最终将内化为学生的数学素养。

每位学生经历三次不同层次和目的的建构,通过比较、分析发现植树问题的本质所在。不是简单地让学生记住三种不同的情况应该是加一、减一还是不加不减,而是回归到问题的本质,利用形象直观的线段图作支撑,用“一一对应”的思想统领三种不同的情形,形成较好的思维模式,为学生更好地理解抽象的数量关系,减轻记忆的负担。

二、引导学生经历“提出猜想――结构图示――归纳总结”的过程

借助几何直观图形,引导学生在经历“提出猜想――结构图示(关系图示)――归纳总结”的推理过程,体验联想类比、归纳推理、迁移转化的思想。如教学《长方体、正方体的体积计算》时,不少教师会依据教材的编排“亦步亦趋”,却很少能以知识联系视角来备这节课,如此便会在不经意间使得数学知识的学习支离破碎,破坏了数学知识的整体结构性。如果我们借用几何直观,抓住知识之间的联系,故而进行迁移、联想、推理出长方体和正方体的体积计算方法,突出“归纳推理”思想,那么自然就能引领学生理清长方体的长、宽、高的乘积就是其所含体积单位的个数这一本质。具体教学过程如下:

第一环节:唤醒经验,类比联想。(所有的实录,换成描述式文字。)

师:同学们还记得长方形的面积计算公式是怎么推导出来的吗?(生答用小正方形铺的方法)

师:还记得是怎么铺的吗?

生:每排铺几个,看能铺几排。

生:用每排的个数乘以排数,算出铺了几个小正方形,这个长方形也就是几平方厘米。

师:也就是说长方形的面积是等于它所含面积单位的个数,而面积单位的个数又等于每排的个数乘以排数,所以我们推导出长方形的面积=长×宽(操作课件,如下图1)。

师:猜想是发现科学的前奏,从长方形面积的计算方法中,你能大胆猜想长方体的体积计算方法吗?

生:长方体的体积=长×宽×高。

师:这是你的猜想,我把它写下来。(板书:长方体的体积=长×宽×高。)

师:通过长方形面积计算公式的推导过程的回忆,对于长方体的体积计算方法的探索,你有什么启示呢?

生:也可以用1立方厘米的小正方体来摆,然后算出一共有多少块小正方体,那么这个摆后的长方体就是几立方厘米。

第二环节:沟通联系,归纳推理

师:老师收集了这四个同学的摆法,观察这四个长方体,你有什么发现?什么变了?什么不变?(有意识地收集四种体积一样、形状各异的长方体用展示台展示。)(操作课件如下图二)

生:这四个长方体的形状变了,而体积不变。

师:你是怎么知道它们的体积是不变的呢?

生:因为它们都是用12个1立方厘米的小正方体拼成的。

生:也就是它们都含有12个1cm3的体积单位,所以体积相等。

师:原来长方体的体积就是等于长方体所含的体积单位的数量。(教师板书:“长方形的体积=长方体所含的体积单位的数量”)

师:我们再认真来观察这些数据,你能得到刚才那位同学一样的猜想吗?

生:是的,这四个长方体的长乘宽乘高都得到121cm3。

师:其他不同摆法的同学也用你们摆成的长方体的长、宽、高相乘一下,积是不是还是会等于体积?(请不同摆法的学生汇报。)

师:通过操作,大家都得出:长方体的体积=长×宽×高。那我们一起来验证一下大家得到的猜想到底是不是正确的?

师:请刚才摆长是3厘米,宽是2厘米,高是3厘米的同学上来说,你是怎么摆的?

生:我是先每排摆3个,摆了2排,算出一层有6个小正方体,然后一共摆了3层,所以也就用每层的个数乘以层数,也就是一共有18个小正方体,也就是18 1cm3。

师:从中我们可以知道怎样算出摆成的长方体一共有多少个体积单位呢?

生:长方体所含体积单位的数量=每排的个数×每层的排数× 层数。(板书)

师:每排的个数、排数、层数和长方体的长、宽、高到底有什么关系?

生:长方体的长有6个11cm3的体积单位(或者说每排摆6个),所以,长是6厘米。(操作课件,如下图3)

生:一层摆2排,长方体的宽是2厘米,就是说,每层的排数正好与长方体宽的厘米数是相同的。

师:刚才我们通过观察、分析,发现:测量长方体时,每排所含体积单位的个数正好就是长的厘米数,每层的排数正好就是宽的厘米数,层数正好就是高的厘米数。这么一来,我们就更加确定长方体的体积就是与它的长、宽、高有关,就是等于长×宽×高。

(图一)

(图二)

第三环节:迁移转化,渗透思想

师:我们已经知道了长方体的计算方法,那么哪位同学知道正方体的体积计算方法呢?

生:这个长方体的长宽高都相等,它就是一个正方体,在正方体中,我们把每条棱都叫做棱长,那么长×宽×高就是棱长×棱长×棱长,所以,正方体的体积=棱长×棱长×棱长。

师:同学们真了不起!能根据长方体的体积计算公式,自主推导出正方体的体积计算公式,这种迁移的方法是我们学习中常用的一种学习方式。(板书正方体体积公式)

师:棱长用字母a表示,那么V=a.a.a,除了这种写法,还有没有更简洁的写法吗?你是怎么想到的呢?

生:因为2个a相乘可以写成a2,那么3个a相乘可以写成a3。

师:这里又一次发挥我们的经验,用到迁移的学习方式,这里a3表示是什么?(3个a相乘)

师:3个a相乘可以写成这样的形式,那么4个a可以怎么写?5个?100个?N个?

整节课中,都能充分地挖掘资源引领学生体验联想类比、归纳推理、迁移转化的思想,使得课堂显得厚重而有效。

三、引导学生经历“提出问题――结构图示――模型建立”的过程

著名数学家徐利治先生曾如是说:“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系,产生对数量关系的直接感知”。是的,借助几何直观图形,我们要引导学生在经历“提出问题――结构图示――模型建立”的过程,以“形”分析并解决数学问题,渗透函数思想、符号化思想、模型思想。

如,在教学“图形的规律”一课时,教者的编排意图就是让学生以几何直观的手段体验数学的模型思想。在教学时,建议能在尊重教材编排意图的基础上教材进行补白与活用。首先,提出问题。提出:“摆10个三角形,需要多少根小棒?”然后便出示了(操作课件如下图四)。

其次,结构图示。并引导学生用列表的策略来观察分析(如图),并得出“每多摆1个三角形就增加2根小棒”的关系。接着,算法探究。让学生根据直观图示发现:一是摆1个三角形需要3根小棒,摆2个三角形需要(3+2)根,摆3个三角形需要(3+2+2)根,摆4根三角形需要(3+2+2+2)…….。二是摆1个三角形需要3根小棒,摆2个三角形需要(2×2+1)根,摆3个三角形需要(3×2+1),摆4个三角形需要(4×2+1)…….。最后,建立模型。教师提出“如果要摆100个三角形要需要多少根呢”,学生便能很快明白(100×2+1),因为有了前面的直观图示的支撑下,学生对为什么要这么算的算理便很清晰了。至此,我们要适时地引导提升“如果要摆N下三角形需要多少根呢”,于是学生对于“2N+1”模型的建立便水到渠成了。

总之,对于“几何直观”这个课标修订版中新提的核心概念,并非当下很多教师眼中的“数形结合”的升级版,而是侧重于以“形”来解决数学问题。在充分理解其本质概念之后,我们更应该付诸于行动,在教学行为中跟进,强化“几何直观”教学,让学生能充分感悟数学基本思想。

(图三)

(图四)

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