浅析二面角的求法

【摘要】在立体几何中，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点。而在历年各地的高考数学数学考试中，大都考察了求二面角的大小这一知识点。但学生不知从何入手，丢分严重。本文就对求二面角的常用方法作了一个简单的归纳总结及举例分析。

【关键词】二面角 平面角 三垂线定理 空间向量

在高考中，立体几何占的分值比较大。求二面角是高中立体几何重点问题，而在高考中常出现求二面角的问题。受限于空间想象和空间思维能力的制约，要记的定义，定理和方法比较多，再加上还要运用，多数学生觉得空间立体几何对他们来说，特别是二面角的求法有相当的难度。其实二面角的求法是有章可循的，那么我们就在“万变”中寻其“综”。本文就求二面角的大小的常用方法作一个归纳总结及举例分析。

一、根据二面角定义求作二面角的平面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。

而二面角的平面角是指在二面角a-l-b的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AOl，BOl，AO则∠AOB为二面角a-l-b的平面角。相当于作二面角棱的垂面AOB，则垂面与二面角两个面的交线所成的角∠AOB就是二面角的平面角。

例1 已知：如右图，在正四面体V-ABC中，求侧面与底面所成的角的大小。

分析：求二面角的大小关键是作出二面角的平面角。由已知条件可知，各个面都是正三角形，取AB的中点，连结VO、CO，则VOAB ，OCAB，由二面角的平面角可知，∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角。

二、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角

例2 已知锐二面角α－ l－ β ，A为面α内一点，A到β的距离为 2，到 l 的距离为 4，求二面角 α－ l－ β的大小。

解：过 A作 AOα于O，过 O作 OD l 于D，连AD，则由三垂线定理得AD l

∠ADO就是二面角α－ l－ β的平面角

AO为 A到β的距离 ， AD为 A到 l 的距离AO=2 ，AD=4

在RtADO中，sin∠ADO=

注意：在运用坐标运算求二面角的大小的时候，必须先找出这两个半平面的法向量，然后运用向量夹角公式求二面角的大小。

求二面角的大小还有很多的方法,诸如射影面积法等等，这里只是列举了几个常用的方法。望广大同仁指正，也希望同学们能在解题的时候加以总结，在高考中取得优异的成绩！

（作者单位：贵州省瓮安县第二中学）