应用三角公式的变换方向

三角公式的运用是高考重点考查的内容，解题的关键是如何正确选择相应的公式.本文就常见的三角变换方向例析如下.

一、角的变换

1.将结论角化为条件角

例1已知sin（α―β）=3D5，sin（α+β）=―3D5，且α―β∈（πD2，π），α+β∈（3πD2，2π），求cos2β的值.

分析注意到2β=（α+β）―（α―β），故只要求出cos（α+β）、cos（α―β）的值.

解由题设条件易得

cos（α―β）=―4D5，

cos（α+β）=4D5.

所以cos2β=cos[（α+β）―（α―β）]=cos（α+β）cos（α―β）+sin（α+β）sin（α―β）=―1.

2.将条件角化为结论角

例2已知sinβ=2sin（2α+β），求tan（α+β）+3tanα的值.

分析观察角间的关系，有

2α+β=（α+β）+α，

β=（α+β）―α.

解已知式即

sin[（α+β）―α]=2sin[（α+β）+α]，

展开得sin（α+β）cosα―cos（α+β）sinα

=2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα，

―sin（α+β）cosα=3cos（α+β）sinα，

从而得tan（α+β）+3tanα=0.

3.化为互余角

我们知道，若α+β=πD2，则有

sinα=cosα.

例3已知sin（πD4―x）=5D13（0

分析注意到

（πD4―x）+（πD4+x）=πD2，

及2x=（πD4+x）―（πD4―x）.

解易知

cos（πD4+x）=sin（πD4―x）=5D13，

sin（πD4+x）=cos（πD4―x）=12D13.

所以cos2x=cos[（πD4+x）―（πD4―x）]

=cos（πD4+x）cos（πD4―x）+sin（πD4+x）

sin（πD4―x）

=sin（πD4―x）[2cos（πD4―x）].

从而原式=2cos（πD4―x）=24D13.

二、名的变换

观察题目中有几种函数名称，一般地将正切化为正弦与余弦，或相反.

例4已知tanθ=2，求P=sin3θ+cosθDsinθ―cosθ的值.

解法1

P=sin3θ+cosθ（sin2θ+cos2θ）D（sinθ―cosθ）（sin2θ+cos2θ）

=sin3θ+sin2θcosθ+cos3θDsin3θ―sin2θcosθ+sinθcos2θ―cos3θ.

分子、分母同除以cos3θ，得

P=tan3θ+tan2θ+1Dtan3θ―tan2θ+tanθ―1=13D5.

解法2tanθ=2sinθDcosθ=2

sinθ=2cosθ，

则P=8cos3θ+cosθD2cosθ―cosθ=8cos2θ+1.

又由tanθ=2cosθ=±1D5.

所以P=8×1D5+1=13D5.

点评本例解法1将目标式化为已知式，即化弦为切，其中将分式的分子、分母化成关于sinθ、cosθ的齐次式是解题关键；而解法2是化切为弦，解题方向更明晰.

三、次数变换

对于次数较高的三角式，化为次数较低的三角式（同时小角变为大角），或相反之，以明朗各式之间的关系.

例5化简sin2αsin2β+cos2αcos2β―1[]2cos2αcos2β.

解法1（升次）其中的

1D2cos2αcos2β

=1D2（2cos2α―1）（2cos2β―1）

=2cos2αcos2β―cos2α―cos2β+1D2，

因此原式

=sin2αsin2β―cos2αcos2β+cos2α+cos2β―1D2

=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β―1D2

=sin2β+cos2β―1D2=1D2.

解法2（降次）原式

=1―cos2αD2・1―cos2βD2+1+cos2αD2・

1+cos2βD2―1D2cos2αcos2β

=1D4（1+cos2αcos2β―cos2α―cos2β）

+1D4（1+cos2αcos2β+cos2α+cos2β）

―1D2cos2αcos2β

=1D2.

四、项数变换

涉及到多个三角式的函数性质问题，一般地可利用辅助角公式

（其中tanφ=bDα）

化为只有一个三角式的一次形式.

例6（见2010年天津17题）已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x―1，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期及区间[0，πD2]上的最值；

（2）其图象可由y=sinx的图象怎样变换而来

（1）最小正周期为π.又在[0，πD6]上递增，在[πD6，πD2]上递减，而f（0）=1，f（πD6）=2，f（πD2）=―1，所以f（x）在[0，πD2]上的最大值是2，最小值是―1.

（2）将y=sinx的图象依次向左移πD6，再将图象上各点横坐标变为原来的1D2，纵坐标变为原来的2倍，即sinxsin（x+πD6）sin（2x+πD6）2sin（2x+πD6），从而得到y=f（x）的图象.