对微分中值定理的应用的探讨

摘要:微分中值定理不仅是微分学的基本定理, 而且它也是微分学的理论核心。本文介绍了微分中值定理在解题中的应用及如何构造辅助函数。

关键词 : 微分中值定理;辅助函数;应用

中图分类号: O172文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)06-0239-01

微分中值定理是数学分析中的非常重要的基础定理,它是沟通函数与导数之间的桥梁。微分中值定理系指:Rolle中值定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,Taylor公式,在用微分中值定理去证明一些问题时,我们通常采用的方法是直接套用这些定理或是经过简单地恒等变换以后而实现。但在实际应用的过程中,仅有此方法不能满足教师和学生的需要,经常采用构造辅助函数法的方法。

一、微分中值定理之间的关系

Rolle定理是微分中值定理的基石,而Lagrange中值定理则是微分中值定理的核心. 拉格朗日中值定理添加条件f(a)=f(b)则收缩为特例Rolle定理。 反之,如果定理Rolle中放弃条件f(a)=f(b)则推广为Lagrange中值定理;同样,则Cauchy中值定理就收缩成为Lagrange中值定理。 而Cauchy中值定理可视为Lagrange中值定理在表述上形式的一种推广;若Taylor中值定理添加条件,则收缩为特例中值Lagrange定理Taylor中值定理可视为Lagrange中值定理在应用上的一种推广。

二、微分中值定理的应用

2.1 一般说来,当涉及导数零点时,应考虑Rolle中值定理,一些题目可直接从结论出发,分析要证明的结果,从而构建适当的辅助函数,如

例1 设常数a0,...,an满足■+■+...+■+an=0,求证:多项式 a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an在(0,1)内有一零点。

分析:利用要证的结论,从导函数的“逆”去想,构造一函数f(x)=■xn+1+■xn+…■x2+anx ,使之作为辅助函数,再用辅助函数来证明。

证明设函数f(x)=■xn+1+■xn+…■x2+anx ,x∈[0,1],

f(0)=f(1)=0,

满足Rolle定理,э?灼∈(0,1),f'(?灼)=0,f'(?灼)=a0?灼n+a1?灼n-1…+ an =0

即?灼是a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的零点。

2.2 当涉及两点函数值差时,构造辅助函数,使之转换为满足拉格朗日定理函数。

例2证明:当0

分析arctanb-arctana形如f(b)-f(a),这里可以考虑运用拉格朗日定理。用构造法构造一个函数,令f(x)=arctanx在以a、b为端点的闭区间上f9x0符合拉格朗日定理的条件,有arctanb-arctana=■(b-a),根据a

证明当 0

由拉格朗日定理得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a),c∈(a,b),a

有■

2.3当涉及两个函数在同一点的函数值时,应考虑Cauchy中值定理。而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性。

例3 如果x1x2>0证明存在x1,x2之间的点?灼,使得

x1ex2-x2ex1=(1-?灼)e?灼(x1-x2)

证明:不妨设0

参考文献

[1]同济大学应用数学系. 高等数学[M ]. 北京:高等教育出版社, 2002.

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[3]刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1997.

[4]G波利亚等著,张奠宙等译.数学分析中的问题和定理(第一卷)〔M〕.上海:上海科学技术出版社, 1981.

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