微分方程的渐近分析

R.B.怀特　著

本书是由作者在普林斯顿大学指导常微分方程研究方向的研究生所用的教学材料组成｡它涉及的内容有渐近分析法､积分解的构造､解析延拓在渐近分析中的应用､复变函数论､摄动理论和特殊函数等｡书中讲述的许多方法､技巧及函数的表示都不需要太强的数学条件,这是本书的一大特色｡

全书共分17章｡第1―9章论述了主项平衡法及其在微分方程求解中的应用;非线性微分方程精确解的构造;相平面分析法;柯西积分理论中的级数表示;留数定理;解析延拓;局部近似解;渐近级数及其构造;相位积分法;Stokes常数的求法;延拓规则;Budden问题;误差函数;摄动理论;积分的渐近估计;Euler-Gamma函数;Euler-Beta函数;Stirling逼近;Γ函数的Euler积;微分方程的积分解及其构造方法｡第10章论述的是基函数的展开理论,主要内容有Legendre函数的局部分析､Euler-积分表示､Laplace-积分表示､小波函数和小波基的构造｡第11章论述了Airy函数理论,主要内容有Airy函数的WKB分析､Fourier-Laplace积分表示､渐近极限､匹配局部解和朗斯基行列式｡第12章讨论的是贝塞尔函数,涉及到Bessel函数的局部分析法和WKB分析法,对一般的生成函数､匹配局部解和虚宗变量的Bessel函数也给出了详细的讨论｡第13章论述了Weber-Hermite方程,主要有无穷远点的局部分析､零点的局部分析､Weber-Hermite方程的WKB求解法以及解函数的积分表示法｡第14章是Whittaker函数和Watson函数,主要讨论了Whittaker函数和Watson函数在无穷远点的局部分析和零点的局部分析､函数Mλμ (z)与函数Wλμ (z) 之间的关系以及函数Mλμ (z)与函数Wλμ (z)的积分表示｡第15章论述的是非齐次微分方程,讨论了驱动震荡方程､Struve方程､解函数的零点和无穷远点的局部分析与积分表示,最后又给出了抗Reconnection和抗InternalKink微分方程模型｡第16章论述了Riemann- ζ函数,主要内容有ζ(s) 和ζ(1-s) 函数､ζ(s) 函数的Euler积､素数的分布､公开密钥编码和Stirling逼近｡第17章讨论了有界层问题,主要有层的确定､区域边界处和区域中的层问题和边界层套问题｡

全书内容丰富,结构严谨,层次清晰,能够突破苛刻的数学条件的限制,给出求解微分方程问题的方法和技巧,从而为从事微分方程研究和相关研究的人员提供了新视野｡本书是从事微分方程､复变函数､摄动理论和应用数学研究的科研人员和研究生的有益读物｡

朱永贵,博士

(中国传媒大学理学院)