几类一阶常微分方程及其解法

摘 要： 针对四类一阶常微分方程，分别是变量可分离或可化为变量可分离的一阶常微分方程；一阶线性微分方程；全微分方程；有幂级数解的一阶微分方程，对其先概括要点，再选取例题，逐层剖析，从而教给学生一种解题的规律.

关键词： 变量可分离 一阶线性微分方程 全微分方程 幂级数解

引言

含有自变量、未知函数及导数（或微分）的关系式称为微分方程.通过解微分方程，可以得到所需的函数.微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系，其形式千变万化.微分方程的解有时候可以通过观察法直接得到，绝大部分微分方程的解用观察法是很难得到的，只有部分类型的微分方程可以通过特定的方法求出来.因此，在学习微分方程的内容时，应熟练掌握可求解的微分方程的类型.微分方程类型不同，其解法也大不一样.

1.变量可分离或可化为变量可分离的一阶常微分方程

1.1如果一阶微分方程可写成g（y）dy=f（x）dx，则称为可分离变量微分方程.此时，两边积分，得：

？蘩g（y）dy=？蘩f（x）dx+C为微分方程的通解.

例1：求（y+1）■■+x■=0的通解.

解：原方程分离变量，得：（y+1）■dy=-x■dx，

两端积分得■（y+1）■=-■x■+C，

故而原方程的通解为：3x■+4（y+1）■=C■（C■=12c）.

1.2如果一阶微分方程可写成■=f（ax+by+c），

令u=ax+by+c，则■=a+b■，从而■=■（■-a），

代入原方程，得到du=（bf（u）+a）dx，再利用可分离变量微分方程求解，得到原函数后用u=ax+by+c代换即可得到原方程的通解.

例2：求y′=sin■（x-y+1）的通解.

解：令u=x-y+1，则■=1-■，从而■=■-1，

代入原方程，得到：■=dx，

解得tanu=x+C，故所求通解为tan（x-y+1）=x+C.

1.3如果一阶微分方程可写成■=φ（■），称为一阶齐次方程，此时

令y=ux，则■=u+x■，

代入原方程，得到：u+x■=φ（u），即■=■，然后用可分离变量微分方程求解，得到原函数后用u=■代换即可得到原方程的通解.

例3：求y′=■+tan■的通解.

解：令y=ux，则■=u+x■，

代入原方程，得到：u+x■=u+tanu，即■=■，

两边积分，得ln|sinu|=ln|x|+ln|C|，即sinu=xC，

故所求通解为sin■=xC.

1.4如果一阶微分方程可写成■=f（■），其中c■，c■不全为零，且■≠■，

则可通过解方程组a■x+b■y+c■=0a■x+b■y+c■=0，解得x=x■y=y■.

做变量替换x=X+x■y=Y+y■，则■=■，

代入原方程，得■=f（■），此为齐次方程，在得到原函数后，变量替换即可得到原方程的通解.

例4：求■=f（■）的通解.

解：令x+y+4=0x-y-6=0，解得x=1y=-5.

做变量替换x=X+1y=Y-5，则■=■，代入原方程，得■=f（■），

令Y=uX，则原方程化为■du=■，

其解为：arctanu-■ln（1+u■）=ln|CX|.

代回原变量得通解：arctan（■）-■ln（1+（■）■）=ln|C（x-1）|.

2.一阶线性微分方程

2.1一阶线性齐次方程■+p（x）y=0的通解为y=Ce■.

2.2一阶线性非齐次方程■+p（x）y=Q（x）的通解为：

y=e■（？蘩Q（x）e■dx+C）.

例5：求■+y=cosx的通解.

解：这里p（x）=1，Q（x）=cosx

代入上面公式，可知方程解为：

y=e■（？蘩cosxe■dx+C）=e■（？蘩cosxe■dx+C）

=e■（■+C）=■+Ce■

2.3伯努利（Bernoulli）方程■+p（x）y=Q（x）y■，解法是令z=y■，

代回原方程，得到：■+（1-n）p（x）y=（1-n）Q（x），此方程为一阶线性非齐次方程，求出通解后，用z=y■代回，就可得到原方程的通解.

例6：求■-3xy=xy■的通解.

解：此方程为伯努利方程，令z=y■，则■=-y■■，代入原方程，得：

■+3xz=-x，

其通解为z=e■（？蘩-xe■dx+C）=e■（？蘩-xe■dx+C）

=e■（-■e■+C）=-■+Ce■，

用z=y■代入上式，得原方程的通解为：y■=-■+Ce■.

3.全微分方程

若微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dx=0 （1）的左端恰好是某二元函数的全微分，即du（x，y）=P（x，y）dx+Q（x，y）dy，则方程称为全微分方程.全微分方程的通解为u（x，y）=C；而当P（x，y），Q（x，y）在单连通区域D内具有连续偏导数，且■=■时，方程（1）为全微分方程，此时微分方程通解为：

u（x，y）=？蘩■■P（x，y）dx+Q（x，y）dy

=■P（x，y）dx+Q（x，y）dy=？蘩■■P（x，y■）dx+？蘩■■Q（x，y）dy

=■P（x，y）dx+Q（x，y）dy=？蘩■■Q（x■，y）dy+？蘩■■P（x，y）dx

=C

其中（x■，y■）为单连通区域D内任意一点.

例7：求xy■dx+x■y=0的通解.

解：这里P（x，y）=xy■，Q（x，y）=x■y

显然在整个xoy面上，P（x，y），Q（x，y）都有连续的一阶偏导数，且■=■=2xy，

取x■=0，y■=0，则原方程的通解为：

u（x，y）=？蘩■■xy■dx+x■ydy==？蘩■■0dx+？蘩■■x■ydy=■=C.

4.有幂级数解的一阶微分方程

在微分方程■=f（x，y） （2）中，若（x■，y■）在f（x，y）的定义域内，且f（x，y）是（x-x■），（y-y■）的多项式：

f（x，y）=a■+a■（x-x■）+a■（y-y■）+…+a■（x-x■）■（y-y■）■

则微分方程的通解可展开为x-x■的幂级数：

y=a■+a■（x-x■）+a■（x-x■）■+…+a■（x-x■）■+… （3）

其中a■，a■，…，a■，…为待定系数，将（3）代入（2）中，恒等式两端x-x■同次幂的系数相等，就可得到常数a■，a■，…，a■，…的值，以这些常数为系数的级数（3）在收敛区间内就是方程（2）的解.

例8：试用幂级数求微分方程y′=xy+x+1的通解.

解：记f（x，y）=xy+x+1，则（0，0）在其定义域内，且f（x，y）是x，y的多项式，故而微分方程存在幂级数形式的通解，记为y=∑■■a■x■，

代入原方程，得到：∑■■na■x■=∑■■a■x■+x+1，

比较等式两端x的同次幂的系数，得到：

a■=12a■=a■+1（n+1）a■=a■，

从而得到a■=1 a■=■a■=■ a■=■，

由于∑■■a■x■与∑■■a■x■的收敛域都为（-∞，+∞），故

y=∑■■a■x■+∑■■a■x■

=∑■■■x■+（a■+1）∑■■■-1 x∈（-∞，+∞）为微分方程的通解.

5.建议

在解一阶常微分方程时，要将所求方程与相应的方法对应起来，从而正确地解决问题.具体地说，常常是根据所给方程的特点，设法做适当变换，将其化为易于求解的方程类型.对于同一个方程，可能有不同的解法，我们要注意比较哪种解法更简单，当然，这需要仔细观察及大量练习.因此我们在教学时，要求学生要注意认真审题，认清方程的类型，还要掌握各种类型方程的具体解法.只有这样，才能使学生熟练掌握解题技巧，提高应变能力，开阔解题思路，为后续课程的学习打好基础.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].北京：高等教育出版社，2007：223-253.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007：129-156.

[3]张义富.关于常微分方程通解定义的讨论[J].大学数学，1989（1）：53-57.

[4]冯世强，高大鹏等.一阶常微分方程若干解题技巧[J].西华师范大学学报（自然科学版），2011，32（2）：190-192.