时间：2022-08-21 11:56:12
【摘 要】本文研究了几类可降阶的二阶微分方程，并将其求解理论推广为高阶微分方程.为更深入的探讨了典型的可降阶的高阶常微分方程打下基础，分析方程特点，对于不同类型的高阶方程进行科学合理的降阶，并对以讨论的方法进行归纳总结。
【关键词】高阶方程；线性微分方程；降阶
在应用常微分方程解决问题时，常常遇到应用高阶常微分方程的形式，而二阶常微分方程又是典型的高阶常微分方程，许多高阶微分方程的解法和性质都是二阶微分方程的推广，二阶常微分方程的研究与解法就显得尤为重要了，下面介绍几种典型的二阶微分方程。
1.y"=f（x，y'）型的微分方程
方程特点：方程的右端不含y的常微分方程
方程解法：设y'=p，则y"=p'，代入原方程得=f（x，p）
这是一个一阶微分方程，根据方程的特性进行分析，得出方程的解法，并因此求出以p为未知函数的微分方程的所有解，再次积分即可求出原方程的解.
例1：求方程（1+x
）y"=2xy'
y
=1，y'
=3 的解.
分析：方程（1+x2）y"=2xy'经变形整理得y"=，观察方程的右边发现方程的右端不含y，所以符合y"=f（x，y'）方程的特点
解：令y'=p，则y"=，则方程变为，（1+x）=2xp，
即：= dx
所以y'=p=C1（1+x2）因为y'│=3所以y'=pC1=3 则y=x3+3x+C2
因为y│=1，所以C2=1，所以所求特解为y=x3+3x+1.
2.y"=f（y，y'）型的微分方程
方程特点 方程的右端不含x.
方程解法：令y'==p
则y"=，由复合函数求导法则得y"==・=p，代入原方程得p=f（y，p）这个方程是关于y，p的一阶方程，假如可以求得这个方程的通解是y'=p=φ（y，C1），分析方程的特点，此方程是一个变量可分离方程，将方程分离变量后积分得∫dy=x+C（C1，C2 为任意常数），即为原方程得通解.
注：在此方程在求解的过程中采用了引进新的变量的方法进行降阶，方法简单实用.
例2：解方程y"=y'+（y'）3.
分析：方程中不含x，符合y"=f（y'，y'）型微分方程，按照方程的求解方法进行求解.
解：令y'=p，则y"=p，即p=p（1+p2） 若p≠0，
则=1+p2，arctan p=y+C1，即p=tan（y+C1）?=dx，积分得lnsin（y+C）=x+C，即sin（y+C1）=Cex，或y=arcsin（Cex）-C1，（C1，C2 为任意常数）.若p=0，则y=C包含在通解中.
此类方程也可以将其进行推广为不显含自变量x的方程的一般形式为f（y，y'，…，y（n））=0
3.形如F（x，y，y'，y"）=0 的二阶恰当导数方程
方程特点：方程的左侧恰好为某个函数Φ（x，y，y'）对x的导数，也就是F（x，y，y'，y"）=Φ（x，y，y'）=0
方程解法：应用已有的微分公式，可以使原方程降低一阶
Φ（x，y，y'）= C，再对降阶后的微分方程进行分析，即可探求适合较低阶的微分方程的求解方法.
要准确的判断出某二阶微分方程F（x，y，y'，y"）=0为恰当导数方程，需要掌握一些常用的微分公式，现介绍如下：微分法常用公式
ydx+xdy=d（xy），=d（），
=d（），=dln（x+y）.
=dln
，=darctan（）.
例3：求方程yy"+y'2=0的通解.
分析：对方程的左边采用观察法进行分析，发现左端恰好是符合微分式d（yy'）=yy"+y' ，所以此二阶微分方程是恰当微分方程，才有此方法可以将二阶微分方程化为一阶微分方程，分析方程的特点，即可求出方程的解.
解：将方程写成（yy'）=0 ，故有yy'=C1，即ydy=C1dx，积分后得通解y2=C1x+C2其中C1，C2 为任意常数）.
注意：这是一个高技巧的例题，解决问题的关键在于科学的降阶方法.
同时此类型的方程也可以推广到一般的形式即为F（x，y，y'，y"，…y（n））=0，此方程的左侧恰好为某个函数Φ（x，y，y'，…y（n-1））对x的导数，也就是Φ（x，y，y'，…y（n-1））=0 的形式，其解法不做介绍。
4.二阶线性方程的幂级数解
对于带初值条件类型的二阶齐次线性方程+p（x）+q（x）y=0，y（0）=y，y'（0）=y'
这里x0=0，否则可引进新变量t=x-x0化为t0=0.
有如下定理
定理1：假使方程当中的系数 p（x），q（x）或xp（x），x2q（x）能够扩展成为收敛区间为x
这里a为待定常数.
定理2：n阶贝塞尔方程x+x+（x-n）y=0 （n为非负常数），有特解y=
J（x），
y=
J（x）， n 阶贝塞尔方程中有通解y=C1Jn（X）+C2J-n（X），其中C1，C2为任意的常数.Jn（X）
（或J-n（X））是根据贝塞尔方程所定义成的特殊函数，成为n（或-n）阶（第一类）贝塞尔函数.
例4：求方程x2y"+xy'+（4x2-）y=0的通解.
分析：此方程是一个典型的二阶齐次线性微分方程，分析方程的特点后选作t=2x为新的变量，经过代换可以得出方程通解.
解：引入新的变量t=2x，我们有 =・=2，=（2）・=4 （下转第166页）
（上接第30页）将上述关系式代入原方程，得到t+t+（t-）y=0 ，这是n=的贝塞尔方程.通解可表达为y=C1J（t）+C2J（t），代入原来变量，就得到原方程的通解y=C1J（2x）+C2J（2x），其中C1 ， C2是任意常数。
以上对二阶微分方程的解题技巧进行了论述，发现通常的方法是将二阶的常微分方程降阶，而降阶的主要采用了替换法，使方程将为初等微分方程，然后按照初等微分方程的求解方法进行求解，得到原方程的通解.但是由于我们现有的知识水平有限，不能为所有二阶方程采用降阶方法解决，有待于进一步研究总结。