介绍匀速圆周运动向心加速度的五种推导方法

摘要： 圆周运动向心加速度是新课标高中物理必修课教学的一个重点和难点，而向心加速度公式的推导则可以更好地帮助学生理解和记忆向心加速度的公式。本文主要介绍了向心加速度公式的几种推导方法，供教学参考。

关键词： 匀速圆周运动 向心加速度 推导

引言

匀速圆周运动，由于运动方向在不断改变，所以是变速运动。学生由于长期接受标量运算而产生的思维定势，会认为匀速圆周运动中物体运动速率不变，从而得出v=0，于是有a= =0的错误结果。因此教师在教学中必须强调两点，一是矢量性，速度的方向变化也表示速度有变化，故v≠0；另一是速度变化的方向就是加速度的方向，因此在教学中必须说清楚v的方向。教材中引进了速度三角形的方法，实际上已经考虑到了上述两点。向心加速度公式的推导方法很多，下面提供几种有别于课本的推导方法，供大家参考。

一、利用极限法推导

如图一所示，质点做以O为圆心半径为R的匀速圆周运动，线速度大小为v，设经时间t后质点由A点沿圆周运动到B点，线速度改变量大小为v，由速度矢量三角形与三角形AOB相似，对应边成比例可求得v= v。

根据加速度和线速度的定义，质点加速度的大小为：

在时间为t内，设质点从A点运动到B点转过的圆心角为，则线速度v的方向改变的角速度为，由速度矢量三角形可知，当t0时，0，速度改变量v的方向与线速度v的方向间的夹角α= ，即角速度a的方向与线速度v的方向垂直指向圆心。

二、利用三角函数法推导

如图二所示，物体自半径为R的圆周上的A点匀速圆周运动至点B，所经时间为t，若物体在A、B点的速率为V =V =v，则其速度的增量v=V -V =V +（-V ），由平行四边形法则作出其矢量图如下图二所示。由余弦定理可得：

v= = •

由三角形的公式可知：sin = ，

所以v=2vsin 。

当θ0时，sin = ，故v=vθ，

所以有：α= =v =vω= 。

当θ0时，α=90°，即v的方向和V 垂直，由于V 方向为圆周切线方向，故v的方向指向圆心，又因为v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，其大小为α= ，或α＝Rω 。

三、利用运动的合成法推导

如图三所示，质点沿半径为R的圆周做匀速圆周运动，线速度大小为v。设质点在时间t内由A沿圆周运动到B点的位移AB，可视为沿A点切线方向做匀速直线运动的位移AC与沿半径OB方向做匀加速直线运动的位移CB的矢量和。由位移矢量三角形ABC与ACD相似，可知对应边的比例关系：

AC =CB•CD=CB(CB+2R)。

当t0时，CB

又由运动学公式可得：AC=v•t，CB= αt ，

则：(vt) = αt •2R，由此推出质点加速度的大小为：a= 。

四、利用位移合成法推导

如图四所示，设物体自A点经t沿圆周运动至B，其位移AB可看成是切向位移s 和法向位移s 的矢量和。

由以上分析可知，其法向运动为匀加速直线运动。设其加速度为α，则有s = αt 。

由图知：ACB∽ADB，故有AC∶AB=AB∶AD，即AC= 。

则可求得α= 。

五、利用类比法推导

如图五所示，设有一位置矢量R绕O点旋转，矢端由点A至点B时发生的位移为s，若所经时间为t，则在此段时间内的平均速率 = 所描述的是位置矢量矢端的运动速率，当t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，假如旋转为匀速率，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率为：v=（1）。（式中的T为位置矢量矢端的旋转周期）

如图六所示，是一物体由A至B过程中，每转过1/8圆周速度变化的情况。现将其速度平移至图七中，容易看出图七和图六相类似，所不同的是图六表示的是位置矢量的旋转，而图七则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即α= 。

由图七可知，这个速度变化率其实就是速度矢量失端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故有：α=（2）。

将上式（1）中的 值求出为 代入（2）式，即可得出α= 。

对照图六图七可以看出当t0时v的方向和s的方向相垂直，故加速度的方向和速度方向相垂直。

本文介绍了上述五种匀速圆周运动向心加速度的推导方法，希望能够使广大学生从中得到启迪，对向心加速度这个知识点有更深刻的理解，并对其以后学习思路的拓宽有所帮助。

参考文献：

［1］杨以纲.关于圆周运动加速度的推导［J］.长春师范学院学报（自然科学版）.

［2］王立新.对质点圆周运动加速度的多种求证［J］.泰山学院学报.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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