本科生概率论教学中几个概念的几何性质

【摘要】本文用几何观点解释本科生概率论教学中数学期望、相关系数和条件数学期望这几个概念，旨在帮助学生去理解对这些概念。

【关键词】数学期望 相关系数 条件数学期望

【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）12-0164-01

1.引言

在本科生的概率统计相关课程的教学中，数学期望、相关系数和条件数学期望，是非常重要的概念，具有重要的数学函数，蕴含丰富的数学思想。例如：数学期望描述一种平均，相关系数刻画随机变量间线性程度的大小，条件数学期望可以看作是在某些限制条件下的数学期望。但对于初次接触的学生来说，较难理解，通常的教材[1]，[2]一般没有这些的概念的几何解释。基于大多数本科生在学习概率统计时已有线性代数和高数的基础，为此我们用几何的语言来解释数学期望、相关系数和条件数学期望，希望这种方式能让同学们更容易接受。

该文是这样安排的：第二节介绍基本概念的定义；第三节是主要内容，给出前面所述概念的几何性质；简短的证明在第四节给出。

2.基本概念

为方便起见，我们记随机变量X的分布为FX（x）。

定义1：设X为一随机变量，如果积分

注1：在上述定义中FX（x）可以用来统一表达连续、离散或奇异随机变量的分布，对于初学的读者可以分布看作连续型随机变量对应的积分

其中f（x）为连续型随机变量的密度函数，和离散型随机变量对应的和式

其中a1，a2，…，an，…为离散型随机变量的所有可能取值。

定义2：设X和Y为两随机变量，如果二者的方差Var（X）和Var（Y）存在，称

为随机变量X和Y的相关系数，其中

为随机变量X和Y的协方差。

注2：上述定义中方差存在与二阶矩存在是等价的，即上述的式子只对二阶矩存在的随机变量有定义。

定义3：设X和Y为两随机变量，称E（X|Y）为随机变量X在随机变量Y下的条件数学期望，如果：

1）E（X|Y）∈K（Y）；

2）对任意的f（Y）∈K（Y），有E（f（Y）E（X|Y））=E（f（Y）X）。

注3：见命题3，上述的定义条件数学期望在几乎处处意义下是唯一的。

3.几何性质

命题1：记全体的随机变量全体为K，对X，Y∈K，定义二者之间的距离：

则

注4：该结论具有直观的几何意义，它表明数学期望在度量（1）下为从随机变量X到实数空间最短距离所对应的实数，如图1。

命题2：记全体二阶矩存在随机变量构成的向量空间为L2，对X，Y∈L2，定义内积为：

（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）

如果记θ为向量X和向量Y的夹角，则二者之间的相关系数为cosθ。

注5：该结论表明，相关系数可以看作是向量X，Y的夹角的余弦值，见图2。如果夹角为锐角，二者正相关，相关系数为正；如果夹角为90度，二者线性无关，相关系数为0；如果夹角为钝角，二者负相关，相关系数为负。

命题3：K如命题1中所定义的，对X，Y∈K，记E（X|Y）为给定随机变量Y下随机变量X的条件随机变量，则：

其中K（Y）={f（Y）：f为任意的实可测函数}。

注6：与注1类似，该结论也具有直观的几何意义，见图1。

4.结论的证明

命题2的证明：由向量空间的知识，我们有

命题1和命题3的证明：我们首先证明命题1，我们只需证明数学期望E（X）是实数里面离X最近的点。为此，令b∈R，且b≠E（X），则

这样命题1得证。

下面我们证明命题3：我们只需证明数学期望E（X|Y）是K（Y）里面离X最近的点。为此，令Z∈K（Y），且Z≠E（X|Y）（几乎处处意义下），则

参考文献：

[1]盛骤，谢式千， 潘承毅.《概率论与数理统计》（第四版）.高等教育出版社，2010.

[2]梁之舜等.《概率论与数理统计》（上下）（第三版）.高等教育出版社，2007.