“微元法”研究物体的运动

今年，我们河南高考物理压轴题出现了微元法的应用，很多考生对此不熟悉，下面就微元法分析物体的运动进行简单说明。

什么是微元法呢？简单地说就是，把研究对象或过程分割成无穷多个无限小的部分，取出极小的一部分进行分析处理，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。一般步骤为：

（1）确定研究对象，选取微元；分割的对象可以是各种几何体，得到“线元”“面元”“体元”“角元”等；分割的对象可以是一段时间或过程，得到“时间元”“元过程”；分割对象可以是各种物理量，得到“元电荷”“元功”“元电流”等相应的元物理量。

（2）列出相关微元方程。

（3）对相关微元进行累积求和。

一、“微元法”应用于求非匀变速运动中的位移

【例1】从地面上以初速度vO竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图1所示，t1时刻到达最高点，然后再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动，求：

（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；

（2）球抛出瞬间的加速度大小；

（3）球上升的最大高度。

解析：本题在第（3）问中用到“微元法”，球在上升阶段就是一个非匀变速运动问题，一般解题方法难以处理。此时我们可以把上升过程分割成无数多个元过程，任取一个元过程分析其受力和运动情况，确定加速度大小，由于所选的元过程可以近似看成匀变速问题，这样就可列出速度大小的微元方程，最后进行累积求和，就能得到球上升的最大高度。

二、“微元法”应用于求非匀变速运动中的时间

【例2】如图2所示，质量为m、边长为L的正方形闭合线圈，从有理想边界的水平匀强磁场上方高h处由静止起下落。磁场区域的边界水平，磁感应强度B垂直纸面向里，线圈的电阻为R，线圈平面始终在竖直面内并与磁场方向垂直，ab边始终保持水平。若线圈一半进入磁场时恰好开始做匀速运动，重力加速度为g求：

（1）此匀速运动的速度v；

（2）从静止起到达到匀速运动的过程中，线圈中产生的焦耳热Q；

（3）从线圈cd边进入磁场到开始做匀速运动所经历的时间t.

对于未知运动情况的研究，比如今年我们河南高考题，就可以用微元法求得金属棒加速度是定值，所以金属棒做匀变速运动，进而得知运动时间。当然微元法还有更多、更广泛的应用，平时可多加留意，并进行总结。

（作者单位：河南省长垣县宏力学校）