任意角三角函数的定义及相关课题教学初探

摘要:掌握数学概念是学习数学知识最重要的基础,任何体系都是从概念的严密定义开始构建起来的。没有准确的概念就谈不上具体的数学对象和数学模型,也谈不上建立数学运算法则及其应用。

关键词:任意角;三角函数;课题;教学;数值

因为,数学概念定义的教学往往是数学新知识教学最重要的开端。整式,方程、函数如此,极限、导数乃至概率、群论等同样如此。所以,一个定义的出现和学生掌握的情况如何,直接关系到完成这段教材的教学和这段教材编写的成功与否。

我们来看“任意角三角函数的定义”及相关课题,笔者根据在职业培训学院进行的教学实践谈谈个人的体会和意见。

首先,给出任意角三角函数的定义,这是借助“比”而同时对六个三角函数进行定义的,这种坐标定义建立了“角”到“比值”的多对一对应,它是以角为自变量,以比值为函数的函数。这里应当特别指出,有了弧度制,就建立了一个以实数为自变量的函数。我们应当特别注意六个三角函数即六个比,这是三角函数定义的核心问题,我们在教学中强调,在这六个比中,r、x、y三者是如何有规律的变化,那种比法为 角的那个三角函数,这必须要求学生了如指掌、熟练掌握。只有真正掌握了三角函数的定义,那么由此产生的许多相关课题,便能顺理成章,迎刃而解了。

一、由定义得出三角函数的定义域:

六个三角函数是六个不同的比,我们抓住分母若为o就使比失去意义轻松的得出三角函数的定义域。在sin = ,cos中,r为正数,无论x、y为何值均有意义,既得正弦、余弦定义域为全体实数;对tan = ,sec = ,当x=o即 的终边落在y轴上时没有意义所以正切、余切的定义域为x≠K (k );对cot = ,csc = ,当y=o时即 终边在x轴上时没有意义, 所以余切和余割定义域为x≠K (K Z)。

1、由定义确定三角函数的值域:

现在,我们用定义证明我们都熟悉的三角函数值域。

(1)-1≤sin ≤1,-1≤cos ≤1

证明: + =,r>o

-r≤y≤r

即-1≤ ≤1

由sin = 得

-1≤sin ≤1,

类似可得-1≤cos ≤1

(2) sec ≤-1或 sec ≥1;

csc ≤-1或 csc≥1

证明: + =

o≤x≤r

当x≠o,有

≥1

由sec = 可得

sec ≤-1或 sec ≥1;

类似可得:csc ≤-1或 csc≥1

(3)-∞

这里,可根据学生的接受情况,做一些说明。当 的终边在K (K∈Z)终边的右边无限接近K (K∈Z)时,因为x无限接近于o,所以tan = 无限增大,即tan 趋向于+∞;当 的终边在K (K∈Z)的终边的左侧无限接近K (K∈Z)时,tan = 无限减小,即 趋向于-∞。这就说明-∞

教学中为便于学生记忆,可将sin ∈〔-1,1〕,cos ∈〔-1,1〕;tan ∈〔-∞, +∞〕,cot ∈〔-∞,+∞〕;sec ∈〔-∞, -1〕∪〔1,+∞〕,csc ∈〔-∞, -1〕∪〔1,+∞〕。

应当指出,虽然多数教材在给出三角函数定义后只强调定义域,而没有立即研究值域,但用定义的方法研究值域是非常有意义的,这实际上使定义更加完整,且能培养学生分析问题和解决问题的能力。当然,在学习三角函数图像时提出值域似乎也好,但笔者认为要精减教材的话,是否只讲y=sinx及y=sin(Ax+ )这里常用的图像就够了。如果这样,在定义之后引入值域问题就更显必要了。

由定义导出三角函数值的符号:

在这之前,已知终边上某点的坐标,由定义直接计算过一些三角函数值,我们已经注意到这些数值的符号问题。我们可以启发提问,根据三角函数定义,三角函数值的符号取决于谁的符号?拿出定义中的六个比来看,问题非常明显,三角函数值的符号取决于x、y的符号,从而说明 在哪个象限时它们分别是正值还是负值。因此联系定义容易确定sin 与csc 当 在一、二象限时为正,其余为负,tan 与cot 当 在一、三象限时为正,其余为负,而cos 与sec 当 在一、四象限时为正,其余为负。

顺便指出,这段教材学生掌握容易但熟练却不易,后来往往因一个符号酿出一个大错,教学中我们做过这样的实践。

如果我们只记前三个函数,且我们只记正号的函数,其余为负, 所在象限简称为一、二、三、四,可以有简单的口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦。”这是简单记的,当然这只为了记忆和使用的方便,其含意必须彻底清楚,实践证明,这种方法容易记,方便用,出错少。

2、由定义引出终边相同的角的同名各三角函数值相等:

因为任意角的三角函数定义只与角的终边及终边上某点坐标有关,而不管这个终边旋转的方向或旋转了几转而终止在此,这说明只有终边相同其同名三角函数值应相等,于是求任意角的三角函数值问题就可转化为0到2 间的角的三角函数值问题了。

这里应当指出:f(2 + )= f( )(K∈Z)说明了三角函数的对应关系是“多对一”的对应,明确这个问题对于学习三角函数的周期性,明确三角函数在整个定义域内不存在反函数且只有置x于单调区间才有反函数或三角方程的解集等都是十分有意义的。

3、有定义证明同角三角函数基本恒等式:

三角函数基本恒等式是有定义直接证明的,我们可以用证明恒等式的方法证明其中任意一个,只须讲三角函数定义中的“比”代人即可。当然应当指明,只有 + =1是绝对恒等式,而其余七个公式只有当 取使关系式两边都有意义的值时才能成立。