对任意角三角函数的两种定义方法的思考

【摘 要】 任意角三角函数的定义有两种方法，分别是“终边定义法”和“单位圆定义法”，这两种方法本质上是一样的，新课标人教版教材采用的是后者。为什么要采用“单位圆定义法”？它的优点在哪里？本文就两篇文章《“单位圆定义法”VS“终边坐标法”》和《为什么用单位圆上的点的坐标定义任意角的三角函数》所提的观点，提出一些个人的看法，以求教于广大同行。

【关键词】 任意角的三角函数定义 匀速圆周运动 终边坐标法 单位圆定义法

任意角三角函数的定义有两种方法，分别是“终边定义法”和“单位圆定义法”，这两种方法本质上是一样的，新课标人教版教材采用的是后者。为什么要采用“单位圆定义法”？它的优点在哪里？抱着学习的目的，在拜读了专家层面的两篇文章《“单位圆定义法”VS“终边坐标法”》（以下简称文1）和《为什么用单位圆上的点的坐标定义任意角的三角函数》（以下简称文2）之后，笔者发现，他们对两种定义法存在着重大分歧，为什么会出现这么大的分歧呢？到底哪一种方法更适用于三角函数的教与学呢？本文试对二者的分歧一探究竟。

1 两种观点的分歧

两种观点的分歧主要体现在以下几个方面：①从三角函数历史发展的角度，各自论述了“单位圆定义法”和“终边坐标法”谁更符合概念的本质；②文1从认知结构和认知习惯的角度论述了“终边坐标法”的优点，而文2则从认知效率以及构建知识结构的角度论述了“单位圆定义法”的优点。

至于哪种方法更有利于解题实践（以人教A版例2为例），显然是“终边坐标法”更好，本文就不再赘述，而只从上述两点对双方各自的论述提几点看法。

2 从任意角的三角函数历史发展的角度看

从17世纪起，由于数学注重了对运动的研究而引出了很多重要的数学概念，函数就是其中之一。而任意角的三角函数就是源于对匀速圆周运动的研究，也称为圆函数。数学上研究匀速圆周运动，根本的是研究圆周上的一点P（x，y）与时间t的函数关系（假设点P的初始位置在x轴的正半轴上）。点P的位置要由两个量x与y来确定，设角速度为w，容易由锐角三角函数的定义想到，x/y=coswt，y/r=sinwt（r为圆半径0，则x=rcoswt，y=rsinwt。这样，参数方程（1）就从数学的角度刻画了匀速圆周运动。由于匀速圆周运动是周期运动，从而三角函数就是周期函数。历史上，最早给出三角函数定义的是欧拉，只是没有把任意角和圆放在直角坐标系中。

文2 片面强调了锐角三角函数与任意角三角函数研究的对象不同，前者是解三角形的工具，后者反映了现实世界的周期现象，但却忽视了二者的渊源关系，要研究匀速圆周运动，不可避免的“借用”了锐角三角函数的定义。而且用单位圆定义任意角三角函数，当遇到半径不为1的圆周运动时，又该如何处理呢？还是要回到“比值定义”上，可见这个定义有失一般性，不能反映概念的本质——比值。

从以上所述可以看到，任意角三角函数源于圆周运动的研究恰恰支持了“终边坐标法”。

3 从学生的认知结构和认知习惯来看

锐角三角函数的定义是边长的比值，比如：正弦=对边/斜边，对一个确定的锐角α，都有唯一确定的正弦值与它对应，这是学生在初中早已熟悉的。因此用“终边定义法”定义任意角的正弦值，学生并不难理解比值的唯一性，不会造成思维上的负担，并不像文2所说的“终边定义法”要经过“取点——求距离——求比值”等步骤，“对应关系不够简洁”。而用“单位圆定义法”虽然简化了正余弦函数的外在表现形式，但在“对应法则”上，却与学生已有的对正弦的理解不太和谐，要经过“做单位圆——取交点——对应横坐标（或纵坐标）”的步骤，反而降低了思维效率。所以从学生已有的认知基础来看，“终边坐标法”更胜一筹。

至于文2提出的，在结束了三角函数的学习之后，许多学生还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的“这些问题”不无关系，笔者以为会出现一些问题跟知识本身是没关系的，有的更多的是教学方法上的问题，不能因为教学方法的问题而去改变知识的本来面目。

4 从构建任意角三角函数的知识结构来看

文2提出了“比值作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰”，而采用“单位圆定义法”，自变量α与函数值x，y的关系非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的各种性质。实际上，在“终边坐标法”定义下，我们采用了从一般到特殊的认识顺序，在研究三角函数的图像和性质时，引入了单位圆，利用单位圆中的三角函数线作出了三角函数的图像，从图像中得到三角函数的各种性质。所以无论采用哪一种定义对构建三角函数的知识结构来说都一样。至于推导同角三角函数的基本关系，诱导公式和差角公式等，用不用单位圆这个“特例”并没有产生多大的区别。

所以，对于后续的学习，“单位圆定义法”并没有带来什么实质性的好处。

参考文献

1 孙孜等.“单位圆定义法”VS“终边坐标法”[J].中学数学教学参考，2009.6

2 章建跃.为什么用单位圆上的点的坐标定义任意角的三角函数[J].数学通报，2007.1

3 刘海亚.也谈“单位圆定义法”与“终边坐标法”[J].中学数学教学参考，2009.9