任意角三角函数概念的PCKg内涵剖析

1 PCKg 的内涵及概况

1986年，美国舒尔曼（Shulman）教授首次提出学科教学知识（PCK）概念，即Pedagogical Content Knowledge，将其定义为“教师个人教学经验、教师学科内容知识和教育学的特殊整合”.格罗斯曼（Grossman）作为该理论的继承者，对PCK给予了更重要的阐释，认为其应由四部分组成：“关于学科教学目的知识、学生对某一主题理解和误解的知识、课程和教材的知识、特定课题教学策略和呈现知识”.

在格罗斯曼（Grossman）看来，PCK属于一种静态的知识体系，但科克伦（Cochran）、德鲁特（Deruite）和金（King）根据建构主义理论，认为PCK应改进为Pedagogical Content Knowing，即学科教学认识（PCKg），因为“知识是静态的，认识是动态的，学科教学认识是教师对教学法、学科内容、学习特征和学习情境等四个构成因素的综合理解，总是处于连续的发展过程中，随着学科教学认识的发展，教师能够依据他们的理解为学科中的特定内容创造教学策略，帮助学生在既定的情境中构建最有效的理解”.

自2005年以来，PCK日益成为我国教师教育研究的热点问题，但仅有为数不多的研究者将PCK理论应用到学科教学问题中，更鲜有学者将PCKg应用于中学数学特定课题.鉴于此，笔者结合人教A版《必修4》课例“任意角三角函数的概念”，重点剖析该特定课题的教师PCKg内涵，希冀能提升课堂教学效率，推动中学数学教师专业发展的新途径.

2 相关研究及主要结论

2.1 理论框架及研究问题

在PCKg理论体系的基础上，根据建构主义的相关理论，结合实际研究需求，我们做了相关的改进，使之成为符合剖析中学数学教师关于特定课题的PCKg理论框架.包括四个方面的内容：（1）学科某一特定课题内容知识；（2）学科某一特定课题教学法知识；（3）关于学生学习学科某一特定课题的知识 ；（4）关于学科某一特定课题的学习情境知识.为此，学科某一特定课题的PCKg内涵就是中学数学教师对于以上四个方面的综合理解、整合和建构的过程.

在上述理论框架下，任意角三角函数概念的PCKg内涵具体是研究如下四个问题：（1）任意角三角函数概念的具体内容及教育价值是什么？（2）学习任意角三角函数概念应采取什么教学策略？（3）关于学生在学习任意角三角函数概念时相关知识是什么？（4）任意角三角函数概念具体的学习情境是什么？

围绕以上四个问题，通过综合文献分析，结合具体课例剖析，进行该课题的教育研究，最终达到高效教学和教师发展的目的.

2.2 课例PCKg内涵剖析

2.2.1 任意角三角函数概念的具体内容及研究价值

（1） 具体内容：设α是一个任意角，终边与单位圆交于P（x，y），那么：

（2） 教育价值：三角函数是一个基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型.它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，是几何与代数联系的纽带.它不仅是学习数学的基础，还在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，是解决实际问题的重要工具.

任意角三角函数概念是核心概念，是解决一切三角函数问题的基点.无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质等，都具有重要的意义.在构建任意角三角函数概念的过程中，学生还可以体会到数与形结合、视觉理解、类比、运动、变化、对应等数学思想方法.

2.2.2 任意角三角函数概念的教学策略

根据认知发展理论分析，从锐角三角函数概念到任意角三角函数概念的学习，是一个从特殊到一般的过程，是属于“下、上位关系”的学习，锐角三角函数概念是“先行组织者”.教学策略上是先复习包容性小、抽象概括程度较低的锐角三角函数概念，然后让学生参与定义，视觉理解，“再创造”抽象程度高的上位概念，形成新的认知结构，让原有的锐角三角函数的概念类属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中.

（1） 遵循认知发展规律，先理解锐角三角函数定义

锐角三角函数概念是学习任意角三角函数概念的“先行组织者”.要理解任意角三角函数概念首先要理解锐角三角函数概念，下面采取问题驱动的策略.

问题1 任意画一个锐角α，借助尺规作图工具，找出sin α的近似值.

如图1，要求学生自己任意画一个锐角，利用手中的三角板画直角三角形，度量角α的对边长、斜边长，计算比值.

设计意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数概念的基础.其中，重点突出两方面问题：sin α与点的位置的选取无关；sin α是三角形中线段长度的比值（对边比斜边）.

问题2 sin α是直角三角形中，角α的对边长与斜边长的比值.根据相似三角形性质，这个比值与所画点的位置无关.你认为，哪条边画成单位长方便呢？

设计意图：把斜边画成单位长比较方便，因为此时对边的长度值就可以作为sin α了.这为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做准备.

（2） 进行主动视觉理解，“再创造”任意角三角函数定义

问题3 现在，角已经由锐角扩展到了0°～360°内的角，又扩展到了任意角.在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合.在上述的条件下，对于任意角α，sin α应如何定义？

设计意图：意在把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，视觉理解任意角，发散思维，利用单位圆定义法“再创造”出任意角三角函数定义.

上述问题会导致以下两种可能：

可能2 （图3）设角α的终边与单位圆的交点为P（x，y）.则：

这一定义取r为单位长，是可能1的特殊情况.

综上所述，从认知结构发展的理论出发，从特殊到一般，参与定义，视觉理解，让学生“再创造”任意角三角函数定义的策略，效果显著，是普遍被采用的较好的教学策略.

2.2.3 关于学生在学习任意角三角函数概念时的相关知识

按照PCKg理论分析，关于学生的知识主要包括学生的能力和学习策略、年龄和发展程度、态度、动机以及他们对所学学科拥有的前概念.

根据建构主义心理学，前概念产生的心理途径很多，而学生学习任意角三角函数概念时的前概念主要受相关旧知识的影响.首先，因为过去在直角三角形中学习锐角三角函数，这对研究任意角三角函数在认识上会有一定的局限性，所以学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数可能会有一定的困难.其次，受函数概念、弧度制理解上的影响，理解“把角的集合与实数集建立一一对应”的真正含义也存在相当的难度.

另外，进入高中数学学习后，数学知识相比初中要更具抽象性，而任意角三角函数作为一种具体的、特殊的函数，相比其它常见函数要求也更高，所以学生在态度、动机等因素上也制约着新知识的学习.

2.2.4 关于任意角三角函数概念具体的学习情境

PCKg理论认为，关于学习情境的知识主要指教师对形成教与学过程的社会、政治、文化等外在环境的影响.

教师对任意角三角函数概念形成教与学时，主要受以下几方面的影响：

（1） 高考制度对中学数学教学起首要影响作用，考试大纲要求该节掌握定义、符号、三角函数，解读上的差异必然导致教师有差异的、侧重点不一致的教学策略，甚至会产生轻概念形成过程，重解题的舍本逐末的错误做法.当然，社会发展，时代潮流，教改要求也会产生一定的影响.

（2） 受数学教育心理学的影响，在不同的教学理念的指导下，对任意角三角函数概念会采取不同的教学策略，就会产生不同的教学效果，倘若没有恰当的教育心理学指导，更会产生教学的盲目性，最终失去教育教学的正确的方向.

（3） 鉴于任意角三角函数在物理学、天文学、测量学等其它学科上的重要应用，教师对上述学科的认识还直接影响到他对概念深度的准确把握和理解. 另外，课堂上学生的学习热情、交流、表现等也会对教师产生直接的影响.

3 思考及建议

作为PCK的修正和改进理论，PCKg更强调学生的知识和学习情境这两方面，教师对这两方面知识的理解提供了教学的基础，对于课堂有效教学有着更为突出的意义.但是在实际的教学中，教师常立足于寻找可行的教学策略和呈示知识，从而忽略或者轻视了学生和学习情境的知识，这应引起我们中学一线教师的重视.

基于PCKg的理论观点，教师的专业发展应该由知识向认知转变，关注成长、强调合作、立足实践.因为学习的主体是学生，教师只有在对学生和学习情境充分理解的基础上，才能很好地为特定课题选择适当的、高效的教学策略， 进而促进学生在特定学习情境中构建最有效的理解，同时也提升自身的教学认知水平.

如何让PCKg理论与教学实践有机结合，如何准确界定特定课题的PCKg，如何让PCKg理论在高效教学上发挥作用，今后还需做进一步的探讨和研究.

参考文献

[1] Shulman，L.S. Those who understand knowledge growth in teaching [J]. Educational Reseacher，1986.

[2] Grossman，P.L. The making of a teacher∶Theacher knowledge and teacher education [M].NewYork： Teachers colldg Press，1990.

[3] 张建伟，陈琦. 从认识主义到建构主义[J].北京师范大学学报（社科版），1996.

[4] 冯茁，曲铁华. 从PCK到PCKg：教师专业发展的新转向[J].外国教育研究，2006.

[5] 曹才翰，章建跃. 数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

[6] 普通高中课程标准试验教科书数学 必修4（A版） [M].北京：人民教育出版社，2010.