浅谈对任意角三角函数概念教学的思考

摘 要：数学概念是数学认知的开始，贯穿整个相关知识体系的学习。在技工学校的数学教学中，任意角三角函数是教学的重点，也是难点。针对任意角三角函数的概念教学进行探讨。

关键词：函数；任意角三角函数；概念教学

数学概念的叙述语言虽然直接简练，但是包含了丰富的数量关系和空间形式，是事物本质特征、内在联系及规律的概括。任何一种认知的开始即是对概念的理解。教学中概念教学将会直接影响学生后续知识的学习和能力的形成。基于以上认识，教学中加强了对概念教学的重视，本文将结合实践教学中的情况对任意角三角函数基本概念的教学作一些分析、探讨。

一、任意角三角函数与函数

任意角三角函数是常用的周期函数，是继函数概念后学习的具体函数，但由于三角函数特殊的运算符号，及课本所给的形式是：sinα=■，cosα=■，tanα=■，大部分学生在学习过程中认为和前面所学函数y=f（x）的表达形式不同，怀疑这样的函数和前面所学的函数真是一个概念吗？由于学生在学习前面的函数概念时，习惯用x解析式表示y的函数，当看到课本所给的不太一样的形式时，比较难确定是怎样的函数关系。即使知道具体是角与比值之间的函数关系，也较难将这抽象的概念形象具体化并灵活运用。因此，教学中要从感性的实际周期函数例子到一般抽象的函数形式逐渐深入教学，展示出三角函数概念的由来，让学生能够切实体会到三角函数的实际意义，明确三角函数的变量是角度和比值之间的函数关系，反映的是周期变化情况。当能理解角度与比值的关系，自然就能明白用单位圆定义的三角函数，灵活计算出任意角的三角函数值，体会到任意角的三角函数是一种特殊的函数关系，最终加深对函数的理解，形成一定的概念体系。

二、明确任意角的三角函数有六种表达形式

任意角的三角函数有六种表达形式，劳动版技工学校现使用的数学课本只提到较常用的三种，对于技工学校所教授的专业程度来讲，这已经足够。不过实际上，x、y、r这三个量之间的比值有六个比值，分别是■、■、■、■、■及■，故角的变化会引起六个比值的不同，也就有六种函数形式。虽然学生能够根据学习前三种函数的方法去理解掌握后三种函数，但在实际教学中教育者仍要明确六种表达形式，要知道若想帮助学生进一步认知这一概念，就有必要对概念的外延做必要讲解。否则，学生会认为课本所给的三种函数表达形式就是三角函数的全部，遇到其他的表达形式会产生怀疑，毕竟课本上没有给出三种之外的其他形式，且在做相关练习时，会下意识地将计变量上下颠倒来计算比值，造成答题错误。所以教学中应该充分揭示概念的内涵与外延，明确六种表达形式和它们的形式特点，以便学生灵活解决遇到的各种问题。

三、对比锐角三角函数和任意角三角函数

锐角三角函数和任意角三角函数的函数名相同，表达形式一样，形成过程也非常相似，且学习任意角三角函数之前，学生已经学习锐角三角函数，习惯在直角三角形中的对边、邻变和斜边，致使学生容易产生混淆，将任意角的三角函数也说成这三边之间的比值，疏于考虑三角函数值的符号，运用概念时产生负迁移，造成解题错误。且受先入为主的影响，学生会产生这样的疑问：为什么可以将锐角三角函数的定义用于任意角的三角函数？既然是这样，怎么还这么麻烦地将对边、邻变和斜边改成x、y、r。由于初次学习，很容易就忽略锐角是第一象限角，x、y的取值都是大于零的，而钝角则是第二象限角，x的取值是小于零的，比值出现有负数。学习中，他们很快便能感知到锐角三角函数和任意角三角函数的相似，却较难清晰地理解两者的连续与区别。注意引导学生对比两者的概念，防止产生负迁移是任意角三角函数概念教学的关键。

四、正确运用概念

学习概念最终目的是运用概念为我们的学习、生活和生产所用，所以在向学生讲解完基本概念后，要采取多种形式，帮助学生多次复习已经学习的概念，并通过多种途径去引导学生灵活运用概念，解决遇到的实际问题。只有这样做才能体现课堂教学的真正意义，同时通过多次反复的运用概念，可以使学生加深对概念本身的理解，更好地掌握概念。

要使学生能正确运用概念，我认为应注意引导学生运用概念去分辨出数学对象的不同属性，抓住对象的特点，发现其本质。所以三角函数虽有六种形式，但每种形式特点不同，能解决的对象也不一样，俗话说：“兵来将挡，水来土掩。”抓住事物的本质才能解决好问题。

五、为后续教学做好铺垫

概念教学只是任意角三角函数教学的开始部分，后续还有三角函数关系、诱导公式、图象等，这些教学都要以基本概念作为基本认知。例如，任意角的三角函数关系，根据概念中的比值：■、■、■，我们就可以推断出：sinα・cosα=1、tanα=■等基本函数关系。而在诱导公式教学中，学生不仅要理解概念，还要能够用动态的观点去看待平面直角坐标系上角的变化，画出任意角的终边位置，准确判断取值的符号，懂得终边相同的角，可以归纳出一般形式，这么多能力要求不可能一次课便能掌握到位，概念教学时就可以引导学生掌握终边相同角、取值符号等知识，这样会使教学前后呼应，更具连贯性，学生的学习也会相对变得容易。

任意角的三角函数运用广泛，其概念教学较具现实意义，教学中不仅要遵循概念教学的一般要求，还应该注意教学与实践的结合，避免形式化地去讲解概念。教无定法，使用不同途径和教学方法来达到更好的教学效果，实现教学目的，是教育工作者不断努力追求的目标。

参考文献：

[1]贺争平，张晓勤.教育科学研究论文集[M].广西民族出版社，2002-04.

[2]楼建儿.职业学校尝试教学设计[M].教育科学出版社，2009-02.